Matemática · 10.ª–12.ª classe
Como calcular o termo geral de uma progressão geométrica?
Resposta curta
O termo geral de uma progressão geométrica é an = a1 × qn − 1, em que a1 é o primeiro termo, q a razão e n a posição do termo. Identifique a1 e q, substitua e calcule a potência antes de multiplicar. Exemplo: 2, 6, 18, … tem an = 2 × 3n − 1, e o 5.º termo é 2 × 34 = 162.
Fórmula e significado de cada letra
Termo geral de uma PG
an = a1 × qn − 1
| Letra | Significado |
|---|---|
| an | termo de ordem n (o que se quer calcular) |
| a1 | primeiro termo |
| q | razão: a2 ÷ a1 (diferente de zero) |
| n | posição do termo (1, 2, 3, …) |
De onde vem
Cada passo multiplica por q: a2 = a1 × q, a3 = a1 × q2, a4 = a1 × q3. O expoente de q é sempre uma unidade abaixo da posição, porque o primeiro termo ainda não foi multiplicado por q nenhuma vez. Para chegar ao termo n multiplica-se n − 1 vezes.
Variante útil
Se conhecer um termo qualquer ap, pode partir dele:
Partir de um termo qualquer
an = ap × qn − p
Daqui sai a razão entre dois termos afastados: an ÷ ap = qn − p. Por exemplo, do 2.º ao 5.º termo multiplica-se 3 vezes pela razão, logo a5 ÷ a2 = q3.
Passo a passo
- Confirme que é uma PG (quocientes iguais entre termos consecutivos).
- Identifique a1 e q, com o sinal e, se for o caso, a fração: q = a2 ÷ a1.
- Substitua na fórmula an = a1 × qn − 1.
- Calcule a potência primeiro (qn − 1) e só depois multiplique por a1.
- Se pedirem a posição de um valor, iguale a fórmula a esse valor e escreva ambos os lados como potências da mesma base.
- Verifique com n = 1 (tem de dar a1) e com outro termo da lista.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Calcular um termo
Enunciado: Na PG 7, 14, 28, 56, …, escreva o termo geral e calcule o 8.º termo.
Resolução:
- a1 = 7 e q = 14 ÷ 7 = 2.
- an = 7 × 2n − 1.
- a8 = 7 × 27 = 7 × 128 = 896.
Resposta: an = 7 × 2n − 1 e a8 = 896. Verificação: a4 = 7 × 23 = 56, como na lista.
Exemplo 2 — Razão fracionária
Enunciado: Na PG 81, 27, 9, 3, …, escreva o termo geral e calcule o 6.º termo.
Resolução:
- a1 = 81 e q = 27 ÷ 81 = 1/3.
- an = 81 × (1/3)n − 1.
- a6 = 81 × (1/3)5 = 81 ÷ 243 = 1/3.
Resposta: an = 81 × (1/3)n − 1 e a6 = 1/3. Verificação: continuando a lista, 3 → 1 → 1/3, o 6.º termo é 1/3.
Exemplo 3 — Descobrir a posição de um valor
Enunciado: Que termo da PG 3, 6, 12, 24, … é igual a 768?
Resolução:
- a1 = 3 e q = 2, logo an = 3 × 2n − 1.
- Igualar a 768: 3 × 2n − 1 = 768, logo 2n − 1 = 256.
- Como 256 = 28, tem-se n − 1 = 8 e n = 9.
Resposta: 768 é o 9.º termo. Verificação: 3 × 28 = 3 × 256 = 768.
Exemplo 4 — Dois termos não consecutivos (nível de exame)
Enunciado: Numa PG, a2 = 10 e a5 = 1 250. Determine a razão, o primeiro termo e o termo geral.
Resolução:
- Do 2.º ao 5.º termo multiplica-se 3 vezes por q: a5 = a2 × q3.
- q3 = 1 250 ÷ 10 = 125, logo q = 5 (porque 53 = 125).
- a1 = a2 ÷ q = 10 ÷ 5 = 2.
- an = 2 × 5n − 1.
Resposta: q = 5, a1 = 2 e an = 2 × 5n − 1. Verificação: a2 = 2 × 5 = 10 e a5 = 2 × 54 = 2 × 625 = 1 250.
Erros frequentes
- Usar n em vez de n − 1 no expoente. Dá o termo seguinte ao pretendido. Teste n = 1: q0 = 1, e o resultado tem de ser a1.
- Multiplicar a1 por q antes de elevar. a1 × qn − 1 não é (a1 × q)n − 1. A potência aplica-se só a q.
- Trocar o sinal da potência. (−3)2 = 9, mas −32 = −9. Com razão negativa use sempre parênteses.
- Inverter a razão. q = a2 ÷ a1; em 81, 27, 9 a razão é 1/3 e não 3.
- Usar a fórmula da PA (somar) onde se devia multiplicar.
- Esquecer a raiz negativa. De q2 = 16 saem q = 4 e q = −4; já de q3 = 125 só sai q = 5. Verifique a paridade do expoente.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Numa PG, a1 = 4 e q = 2. Escreva o termo geral e calcule a7.
Ver solução
an = 4 × 2n − 1. a7 = 4 × 26 = 4 × 64 = 256. Verificação: a3 = 4 × 4 = 16, que é 4 × 2 × 2.
2Exercício 2
Escreva o termo geral da PG 1 000, 500, 250, 125, … e calcule o 6.º termo.
Ver solução
a1 = 1 000 e q = 500 ÷ 1 000 = 1/2. an = 1 000 × (1/2)n − 1. a6 = 1 000 × (1/2)5 = 1 000 ÷ 32 = 31,25. Verificação: 125 ÷ 2 = 62,5; 62,5 ÷ 2 = 31,25.
3Exercício 3
Numa PG, a1 = 2 e a4 = −54. Determine a razão, o termo geral e a5.
Ver dica
a4 = a1 × q3. Uma raiz cúbica de número negativo é negativa.
Ver solução
q3 = −54 ÷ 2 = −27, logo q = −3. an = 2 × (−3)n − 1. a5 = 2 × (−3)4 = 2 × 81 = 162. Verificação: a4 = 2 × (−3)3 = 2 × (−27) = −54.
4Exercício 4
Uma pessoa investe 100 000 Kz a um juro composto de 10% ao ano. O valor ao fim de cada ano é o do ano anterior multiplicado por 1,1. Quanto vale o investimento ao fim de 3 anos?
Ver dica
Os valores ao fim de 1, 2, 3, … anos formam uma PG de razão 1,1 cujo primeiro termo é 110 000.
Ver solução
a1 = 100 000 × 1,1 = 110 000 e q = 1,1. an = 110 000 × 1,1n − 1. a3 = 110 000 × 1,12 = 110 000 × 1,21 = 133 100 Kz. Verificação: 110 000 → 121 000 → 133 100, multiplicando por 1,1 duas vezes.
5Exercício 5
Intercale três números entre 5 e 80 de modo que os cinco números formem uma PG (indique as duas soluções possíveis).
Ver dica
Entre o 1.º e o 5.º termo multiplica-se 4 vezes por q: 80 = 5 × q4.
Ver solução
q4 = 80 ÷ 5 = 16, logo q = 2 ou q = −2. Com q = 2: 5, 10, 20, 40, 80. Com q = −2: 5, −10, 20, −40, 80. Verificação: 5 × 24 = 80 e 5 × (−2)4 = 80.
Perguntas frequentes
Porque é que o expoente é n − 1 e não n?
Porque o primeiro termo é a1 e ainda não foi multiplicado por q. O segundo foi multiplicado uma vez, o terceiro duas, e o de ordem n foi multiplicado n − 1 vezes. Se a numeração começar em a0, a fórmula passa a an = a0 × qn.
Como resolvo 2n − 1 = 256 se não reconhecer a potência?
Decomponha 256 dividindo sucessivamente por 2 até chegar a 1: 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 são oito divisões, logo 256 = 28. Se o programa já incluir logaritmos, pode aplicá-los aos dois membros; confirme no manual.
Posso calcular a razão com termos que não são vizinhos?
Pode. Se conhece ap e an, então qn − p = an ÷ ap. Depois extrai a raiz de índice n − p. Atenção: se n − p for par, pode haver duas razões, uma positiva e outra negativa.
Como verifico se o termo geral está certo?
Substitua n = 1 e n = 2: tem de obter a1 e a2, e portanto a razão a2 ÷ a1. Depois teste um termo mais avançado que o enunciado forneça.
Resumo
- an = a1 × qn − 1 dá qualquer termo de uma PG.
- O expoente é n − 1: o primeiro termo ainda não foi multiplicado por q.
- Com dois termos conhecidos: an = ap × qn − p, e qn − p = an ÷ ap.
- Calcule a potência primeiro, depois multiplique por a1; use parênteses com razões negativas.
- Para achar a posição de um valor, escreva ambos os lados como potências da mesma base.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O tema «O que é uma progressão geométrica?», nesta secção, e a comparação com o termo geral da progressão aritmética.
- O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre sucessões geométricas.
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