Matemática · 5.ª–12.ª classe
Como calcular o volume da pirâmide?
Resposta curta
O volume da pirâmide é um terço da área da base vezes a altura: V = (Ab × h) ÷ 3. A altura é a distância perpendicular do vértice ao plano da base. Pirâmide de base quadrada com 6 cm de lado e 10 cm de altura: Ab = 36 cm2 e V = 36 × 10 ÷ 3 = 120 cm3.
O que é e porque aparece o terço
Uma pirâmide tem uma base que é um polígono (triângulo, quadrado, retângulo, pentágono...) e faces laterais triangulares que se encontram num ponto, o vértice. O nome diz-se pela base: pirâmide triangular, quadrangular, pentagonal.
Compare com o prisma de mesma base e mesma altura: o prisma «enche» todo o espaço entre as bases, ao passo que a pirâmide vai afunilando até ao vértice. A pirâmide ocupa exatamente um terço desse espaço. Há duas formas de ver isto:
- Com água ou areia: se tiver uma pirâmide oca e um prisma oco com a mesma base e a mesma altura, é preciso despejar a pirâmide cheia três vezes para encher o prisma.
- Com um cubo: um cubo de aresta a pode ser dividido em três pirâmides iguais, cada uma com base quadrada de lado a e altura a. Como o cubo tem volume a3, cada pirâmide tem a3 ÷ 3.
Volume da pirâmide
V = (1/3) × Ab × h = Ab × h ÷ 3 Ab = área da base; h = altura (perpendicular à base, desde o vértice)
Altura, apótema e aresta lateral não são a mesma coisa
Num exercício sobre pirâmides aparecem três medidas parecidas. Só uma serve diretamente no volume:
| Medida | O que é | Serve no volume? |
|---|---|---|
| Altura h | segmento perpendicular do vértice à base | sim |
| Apótema da pirâmide | altura de uma face lateral (triângulo) | não, só para achar h |
| Aresta lateral | segmento do vértice a um vértice da base | não, só para achar h |
Quando o enunciado dá o apótema ou a aresta lateral, a altura calcula-se com o teorema de Pitágoras num triângulo retângulo formado no interior da pirâmide.
Método passo a passo
- Identifique a base e calcule a sua área (quadrado: l2; retângulo: c × l; triângulo: b × h ÷ 2).
- Identifique a altura h da pirâmide, a perpendicular do vértice à base. Se só lhe derem o apótema ou a aresta lateral, calcule primeiro h com Pitágoras.
- Multiplique a área da base pela altura: Ab × h.
- Divida por 3 o resultado.
- Escreva a unidade cúbica (cm3, m3).
- Verifique: o volume da pirâmide tem de ser menor do que o do prisma com a mesma base e altura, e igual a um terço dele. Multiplique o seu resultado por 3 e veja se recupera Ab × h.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Base quadrada
Enunciado: Uma pirâmide tem por base um quadrado de 9 cm de lado e 12 cm de altura. Calcule o volume.
Resolução:
- Ab = 9 × 9 = 81 cm2.
- Ab × h = 81 × 12 = 972.
- V = 972 ÷ 3 = 324.
Resposta: V = 324 cm3. Verificação: 324 × 3 = 972 = 81 × 12, o volume do prisma correspondente.
Exemplo 2 — Telhado em pirâmide
Enunciado: O topo de um pavilhão tem a forma de uma pirâmide de base retangular com 8 m por 6 m e 5 m de altura. Qual é o volume de ar nesse espaço?
Resolução:
- Ab = 8 × 6 = 48 m2.
- V = 48 × 5 ÷ 3 = 240 ÷ 3 = 80.
Resposta: o espaço tem 80 m3. Verificação: o prisma de 8 × 6 × 5 tem 240 m3, e 240 ÷ 3 = 80.
Exemplo 3 — Base triangular
Enunciado: A base de uma pirâmide é um triângulo com 6 cm de base e 4 cm de altura. A pirâmide tem 9 cm de altura. Calcule o volume.
Resolução:
- Ab = 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm2 (a altura 4 cm é a do triângulo).
- V = 12 × 9 ÷ 3 = 108 ÷ 3 = 36.
Resposta: V = 36 cm3. Verificação: 12 × 9 = 108 e 108 ÷ 3 = 36; o 4 cm entrou só na área da base, e o 9 cm só na altura da pirâmide.
Exemplo 4 — Nível de exame: altura a partir do apótema
Enunciado: Uma pirâmide quadrangular regular tem 6 cm de aresta da base e 5 cm de apótema (altura de cada face lateral). Calcule o volume.
Resolução:
- A altura h, o apótema (5 cm) e metade da aresta da base (3 cm) formam um triângulo retângulo em que o apótema é a hipotenusa.
- h2 + 32 = 52, logo h2 = 25 − 9 = 16 e h = 4 cm.
- Ab = 6 × 6 = 36 cm2.
- V = 36 × 4 ÷ 3 = 144 ÷ 3 = 48.
Resposta: V = 48 cm3. Verificação: 3, 4 e 5 formam um terno pitagórico (9 + 16 = 25), por isso a altura 4 é coerente; e 48 × 3 = 144 = 36 × 4.
Erros frequentes
- Esquecer de dividir por 3. Sem o terço, calcula-se o volume do prisma e não o da pirâmide. Verifique: o resultado tem de ser menor do que Ab × h.
- Usar o apótema ou a aresta lateral como altura. Ambos são mais compridos do que a altura verdadeira. Só Ab × h com h perpendicular dá o resultado certo.
- Calcular mal a área da base, por exemplo esquecendo o ÷ 2 quando a base é um triângulo.
- Aplicar o terço duas vezes, por exemplo dividindo a área da base por 3 e depois dividindo o produto outra vez. O ÷ 3 entra uma única vez.
- Dividir por 2 em vez de por 3, por confusão com a fórmula da área do triângulo.
- Dar o resultado em cm2. A pirâmide ocupa espaço, logo a unidade é cúbica.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Uma pirâmide tem base de área 30 cm2 e 7 cm de altura. Calcule o volume.
Ver solução
V = 30 × 7 ÷ 3 = 210 ÷ 3 = 70 cm3.
2Exercício 2
Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrada com 5 cm de lado e 9 cm de altura.
Ver solução
Ab = 5 × 5 = 25 cm2. V = 25 × 9 ÷ 3 = 225 ÷ 3 = 75 cm3.
3Exercício 3
Uma pirâmide de base retangular, com 6 cm por 4 cm, tem volume 96 cm3. Qual é a sua altura?
Ver dica
Se V = Ab × h ÷ 3, então h = 3 × V ÷ Ab.
Ver solução
Ab = 6 × 4 = 24 cm2. h = 3 × 96 ÷ 24 = 288 ÷ 24 = 12 cm. Verificação: 24 × 12 ÷ 3 = 288 ÷ 3 = 96.
4Exercício 4
Uma pirâmide quadrangular tem 12 cm de altura e volume 100 cm3. Quanto mede o lado da base?
Ver solução
Ab = 3 × V ÷ h = 300 ÷ 12 = 25 cm2. Como a base é um quadrado, l2 = 25 e o lado mede 5 cm. Verificação: 25 × 12 ÷ 3 = 100.
5Exercício 5
Uma pirâmide quadrangular regular tem 10 cm de aresta da base e 13 cm de apótema. Calcule a altura e o volume.
Ver dica
Use o triângulo retângulo formado pela altura, pelo apótema e por metade da aresta da base.
Ver solução
Metade da aresta da base: 5 cm. h2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144, logo h = 12 cm. Ab = 10 × 10 = 100 cm2. V = 100 × 12 ÷ 3 = 1 200 ÷ 3 = 400 cm3.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o volume da pirâmide?
V = (1/3) × Ab × h. Calcula-se a área da base, multiplica-se pela altura perpendicular e divide-se por 3. É válida para qualquer pirâmide, seja a base um triângulo, um quadrado ou outro polígono.
Porque é que se divide por 3?
Porque a pirâmide cabe três vezes no prisma com a mesma base e a mesma altura. Num cubo isso vê-se bem: é possível dividi-lo em três pirâmides iguais, e cada uma tem um terço do volume do cubo.
A pirâmide tem de ser regular para usar a fórmula?
Não. A fórmula só pede a área da base e a altura perpendicular. Numa pirâmide oblíqua, o vértice não está na vertical do centro da base, mas a altura continua a ser a distância do vértice ao plano da base, e o volume obtém-se da mesma maneira.
Como verificar se o resultado está correto?
Multiplique o volume por 3 e confirme que obtém Ab × h. Confirme também que o volume é menor do que o do prisma de igual base e altura. Se der igual ou maior, esqueceu-se de dividir por 3.
Resumo
- Volume da pirâmide: V = Ab × h ÷ 3.
- A pirâmide tem um terço do volume do prisma com a mesma base e a mesma altura.
- A altura é perpendicular à base; o apótema e a aresta lateral são mais compridos e só servem para a calcular, com Pitágoras.
- A área da base depende do polígono: quadrado l2, retângulo c × l, triângulo b × h ÷ 2.
- O resultado leva unidade cúbica (cm3, m3).
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), nas secções de geometria com volumes de sólidos.
- Os Elementos de Euclides (Livro XII), onde se estuda a relação entre a pirâmide e o prisma, para quem gosta de história da matemática.
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