Matemática · 5.ª–12.ª classe

Como calcular o volume do cubo?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

O volume do cubo calcula-se multiplicando a aresta por si própria três vezes: V = a × a × a = a3. Um cubo de aresta 4 cm tem V = 4 × 4 × 4 = 64 cm3. A aresta tem de estar numa única unidade de comprimento, e o resultado exprime-se sempre em unidades cúbicas, como cm3 ou m3.

O que é o volume do cubo

O cubo é o sólido com 6 faces, todas quadrados iguais, 12 arestas do mesmo tamanho e 8 vértices. O volume mede o espaço que o sólido ocupa, isto é, quantos «cubinhos de 1 unidade» cabem lá dentro.

Imagine um cubo de aresta 3 cm. No fundo cabe uma camada de 3 × 3 = 9 cubinhos de 1 cm de aresta. Como o cubo tem 3 cm de altura, empilham-se 3 camadas iguais: 9 × 3 = 27 cubinhos. Logo o volume é 27 cm3. É por isso que a fórmula multiplica três vezes o mesmo número: comprimento, largura e altura são todos iguais à aresta.

Fórmulas do cubo de aresta a

Volume: V = a × a × a = a3 Área de uma face: a2 Área total (6 faces): A = 6 × a2 Aresta a partir do volume: a = raiz cúbica de V

Ler «a elevado a 3» é o mesmo que dizer «a ao cubo»: a terceira potência tem esse nome justamente por causa deste sólido.

Cubos perfeitos que convém conhecer

Para encontrar a aresta quando só se conhece o volume, ajuda saber de cor os primeiros cubos perfeitos:

Aresta12345678910
Volume1827641252163435127291 000

Método passo a passo

  1. Identifique a aresta do cubo no enunciado e escreva-a com a unidade (por exemplo, a = 6 cm).
  2. Verifique as unidades. Se a aresta vier em metros e pedirem o resultado em centímetros cúbicos, converta primeiro a aresta.
  3. Escreva a fórmula V = a3 e substitua: V = 63.
  4. Multiplique a × a e depois o resultado por a: 6 × 6 = 36 e 36 × 6 = 216.
  5. Escreva a unidade cúbica no resultado: 216 cm3.
  6. Verifique com a ideia das camadas: uma camada tem 36 cubinhos, e há 6 camadas; 36 × 6 = 216.

Converter volumes

Quando se muda de unidade de comprimento, o volume muda com o cubo do fator de conversão. Como 1 m = 100 cm, tem-se 1 m3 = 100 × 100 × 100 cm3 = 1 000 000 cm3. Para capacidades, lembre-se de que 1 dm3 = 1 litro e 1 cm3 = 1 mililitro.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Aresta dada

Enunciado: Calcule o volume de um cubo com 6 cm de aresta.

Resolução:

  1. V = a3 = 63.
  2. 6 × 6 = 36 e 36 × 6 = 216.

Resposta: V = 216 cm3. Verificação: 6 camadas de 36 cubinhos dão 6 × 36 = 216.

Exemplo 2 — Quantos litros cabem na caixa?

Enunciado: Uma caixa de plástico em forma de cubo tem 0,4 m de aresta. Qual é a sua capacidade em litros?

Resolução:

  1. Passe a aresta para decímetros, porque 1 dm3 = 1 litro: 0,4 m = 4 dm.
  2. V = 43 = 4 × 4 × 4 = 64 dm3.
  3. Como 1 dm3 = 1 L, a capacidade é 64 L.

Resposta: a caixa leva 64 litros. Verificação: em metros cúbicos, 0,4 × 0,4 × 0,4 = 0,064 m3, e 0,064 × 1 000 = 64 L.

Exemplo 3 — Descobrir a aresta

Enunciado: Um cubo tem volume 512 cm3. Quanto mede a aresta?

Resolução:

  1. Procura-se o número que, multiplicado por si próprio três vezes, dá 512: a3 = 512.
  2. Pela tabela dos cubos perfeitos, 8 × 8 × 8 = 512 (8 × 8 = 64 e 64 × 8 = 512).

Resposta: a aresta mede 8 cm. Verificação: 83 = 512.

Exemplo 4 — Nível de exame: a partir da área total

Enunciado: A área total de um cubo é 150 cm2. Determine o seu volume.

Resolução:

  1. A área total é 6 × a2, logo 6 × a2 = 150.
  2. a2 = 150 ÷ 6 = 25, portanto a = 5 cm (porque 5 × 5 = 25 e a aresta é positiva).
  3. V = 53 = 5 × 5 × 5 = 125.

Resposta: V = 125 cm3. Verificação: com a = 5, a área total é 6 × 25 = 150 cm2, como no enunciado.

Erros frequentes

  • Multiplicar a aresta por 3 em vez de a elevar ao cubo. Para a = 4, 4 × 3 = 12 está errado; o correto é 4 × 4 × 4 = 64. Escreva sempre a multiplicação por extenso.
  • Calcular a área em vez do volume. a2 dá a área de uma face e 6a2 a área total; só a3 dá o volume.
  • Escrever cm2 ou cm no resultado. Volume leva unidade cúbica (cm3, m3); caso contrário a resposta fica errada mesmo com o número certo.
  • Converter m3 para cm3 multiplicando por 100. O fator correto é 1003 = 1 000 000.
  • Misturar unidades, por exemplo uma aresta de 0,4 m com uma de 25 cm no mesmo cálculo. Converta tudo para a mesma unidade antes de multiplicar.
  • Pensar que duplicar a aresta duplica o volume. Duplicando a aresta, o volume fica 8 vezes maior (23 = 8).

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule o volume de um cubo com 9 cm de aresta.

Ver solução

V = 93 = 9 × 9 × 9. Como 9 × 9 = 81 e 81 × 9 = 729, o volume é 729 cm3.

2Exercício 2

Um depósito de água em forma de cubo tem 1,5 m de aresta. Calcule o volume em m3 e a capacidade em litros.

Ver dica

1 m3 corresponde a 1 000 litros.

Ver solução

V = 1,5 × 1,5 × 1,5. Primeiro 1,5 × 1,5 = 2,25; depois 2,25 × 1,5 = 3,375. O volume é 3,375 m3, ou seja, 3,375 × 1 000 = 3 375 litros.

3Exercício 3

Qual é a aresta de um cubo cuja capacidade é 1 litro? Indique o resultado em centímetros.

Ver dica

1 litro = 1 000 cm3.

Ver solução

a3 = 1 000 cm3. Como 10 × 10 × 10 = 1 000, a aresta mede 10 cm.

4Exercício 4

Um cubo pequeno tem 2 cm de aresta e um cubo grande tem 4 cm de aresta. Quantas vezes o volume do grande é maior do que o do pequeno?

Ver solução

Cubo pequeno: 23 = 8 cm3. Cubo grande: 43 = 64 cm3. Como 64 ÷ 8 = 8, o volume do grande é 8 vezes o do pequeno, embora a aresta seja apenas o dobro.

5Exercício 5

A soma de todas as arestas de um cubo é 84 cm. Calcule o volume do cubo.

Ver dica

Quantas arestas tem um cubo?

Ver solução

O cubo tem 12 arestas iguais, logo 12 × a = 84 e a = 84 ÷ 12 = 7 cm. O volume é V = 73 = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343 cm3.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular o volume do cubo?

É V = a3, onde a é a aresta. Resulta de comprimento × largura × altura, já que as três dimensões do cubo são iguais. Não existe outra fórmula a decorar: a área total (6a2) é uma grandeza diferente.

Como verificar se o resultado está correto?

Faça a conta inversa: tire a raiz cúbica do volume e veja se obtém a aresta (por exemplo, 216 → 6, porque 6 × 6 × 6 = 216). Confirme também a ordem de grandeza: um cubo de 10 cm de aresta tem 1 000 cm3, por isso uma aresta menor do que 10 cm tem de dar menos de 1 000.

Porque é que o volume fica «ao cubo» e a área «ao quadrado»?

A área é bidimensional (duas medidas multiplicadas) e o volume é tridimensional (três medidas multiplicadas). As unidades acompanham essa diferença: cm2 para a área e cm3 para o volume.

Posso usar a fórmula do cubo para uma caixa em que as medidas são diferentes?

Não. Se o comprimento, a largura e a altura forem diferentes, o sólido é um paralelepípedo e o volume é o produto das três medidas, c × l × h. A fórmula a3 só serve quando as três são iguais.

Resumo

  • O volume do cubo é V = a3 = a × a × a, com a igual à aresta.
  • O resultado leva unidade cúbica (cm3, dm3, m3).
  • Para achar a aresta a partir do volume, procura-se o número que multiplicado três vezes por si dá esse volume (raiz cúbica).
  • 1 dm3 = 1 litro e 1 m3 = 1 000 litros = 1 000 000 cm3.
  • Duplicar a aresta multiplica o volume por 8; triplicar multiplica por 27.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), nas secções de geometria com volumes de sólidos.
  • A Khan Academy, que tem lições de matemática disponíveis em português.

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