Matemática · 5.ª–12.ª classe
Como calcular o volume do cone?
Resposta curta
O volume do cone é um terço do volume do cilindro com a mesma base e a mesma altura: V = (1/3) × π × r2 × h. Um cone com r = 3 cm e h = 10 cm tem V = 3,14 × 9 × 10 ÷ 3 = 94,2 cm3 (π ≈ 3,14). Use a altura perpendicular à base, e não a geratriz, que é a medida inclinada.
O que é e quando se aplica
O cone (circular reto) é o sólido com uma base circular e uma superfície curva que se fecha num ponto, o vértice. Têm forma de cone um funil, um chapéu de festa, um cone de trânsito, um monte de areia ou de cascalho descarregado de um camião, a ponta de um lápis afiado.
Há três medidas lineares que convém separar:
| Símbolo | Nome | O que é |
|---|---|---|
| r | raio | raio do círculo da base |
| h | altura | distância perpendicular do vértice ao centro da base |
| g | geratriz | segmento do vértice a um ponto da circunferência da base |
Como o triângulo formado por h, r e g é retângulo (g é a hipotenusa), vale g2 = r2 + h2. Esta relação permite calcular a altura quando o enunciado só dá a geratriz.
Volume do cone
V = (1/3) × π × r2 × h = π × r2 × h ÷ 3 Altura a partir da geratriz: h = raiz de (g2 − r2)
Cone e cilindro
Se um cone e um cilindro tiverem a mesma base e a mesma altura, o cone leva um terço da água do cilindro. Experimentalmente, enchem-se os dois recipientes e despeja-se o cone cheio no cilindro: é preciso fazê-lo três vezes para o encher. Daqui nasce a fórmula, porque o volume do cilindro é π × r2 × h e o do cone é a terça parte.
Tal como no cilindro, pode apresentar o resultado em função de π (valor exato) ou com π ≈ 3,14 (valor aproximado), consoante o enunciado.
Método passo a passo
- Anote r e h. Se vier o diâmetro, calcule r = d ÷ 2. Se vier a geratriz em vez da altura, calcule h com h2 = g2 − r2.
- Uniformize as unidades de comprimento.
- Calcule a área da base: π × r2.
- Multiplique pela altura: π × r2 × h.
- Divida por 3 para obter o volume do cone.
- Escreva a unidade cúbica. Se pedirem litros: 1 dm3 = 1 L e 1 000 cm3 = 1 L.
- Verifique: o volume do cone tem de ser menor do que o do cilindro com a mesma base e altura; multiplique o resultado por 3 e veja se obtém π × r2 × h.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Raio e altura dados
Enunciado: Calcule o volume de um cone com 6 cm de raio e 5 cm de altura (π ≈ 3,14).
Resolução:
- V = (1/3) × 3,14 × 62 × 5.
- 62 = 36 e 36 × 5 = 180; 180 ÷ 3 = 60.
- 3,14 × 60 = 188,4.
Resposta: V = 188,4 cm3 (ou 60π cm3 em valor exato). Verificação: o cilindro correspondente tem 3,14 × 180 = 565,2 cm3, e 565,2 ÷ 3 = 188,4.
Exemplo 2 — Monte de areia
Enunciado: Um monte de areia tem aproximadamente a forma de um cone com 6 m de diâmetro na base e 2 m de altura. Estime o volume de areia (π ≈ 3,14).
Resolução:
- r = 6 ÷ 2 = 3 m.
- V = 3,14 × 32 × 2 ÷ 3 = 3,14 × 18 ÷ 3.
- 18 ÷ 3 = 6 e 3,14 × 6 = 18,84.
Resposta: o monte tem cerca de 18,84 m3 de areia. Verificação: 18,84 × 3 = 56,52 = 3,14 × 18, o volume do cilindro de mesma base e altura.
Exemplo 3 — A altura vem da geratriz
Enunciado: Um cone tem raio da base 5 cm e geratriz 13 cm. Calcule o volume (π ≈ 3,14).
Resolução:
- Altura: h2 = g2 − r2 = 169 − 25 = 144, logo h = 12 cm.
- V = 3,14 × 25 × 12 ÷ 3. Como 12 ÷ 3 = 4, vem 3,14 × 25 × 4 = 3,14 × 100 = 314.
Resposta: V = 314 cm3. Verificação: 5, 12 e 13 formam um terno pitagórico (25 + 144 = 169), logo a altura 12 está correta.
Exemplo 4 — Nível de exame: do funil para o copo
Enunciado: Um funil cónico tem 6 cm de raio e 9 cm de altura e está cheio de água. Despeja-se toda a água num copo cilíndrico de 3 cm de raio. Que altura atinge a água no copo?
Resolução:
- Volume do funil: Vc = (1/3) × π × 62 × 9 = (1/3) × π × 324 = 108π cm3.
- Volume de água no copo, de altura H: V = π × 32 × H = 9π × H.
- Igualando: 9π × H = 108π. O π simplifica-se e H = 108 ÷ 9 = 12.
Resposta: a água atinge 12 cm. Verificação: 9π × 12 = 108π, o mesmo volume do funil.
Erros frequentes
- Esquecer o ÷ 3 e dar o volume do cilindro. O volume do cone é exatamente a terça parte do volume do cilindro com a mesma base e altura; se o seu resultado for igual ao do cilindro, falta dividir por 3.
- Usar a geratriz como altura. A geratriz é inclinada e maior do que h; use-a apenas para achar h por Pitágoras.
- Usar o diâmetro em vez do raio. Como r entra ao quadrado, o volume sai 4 vezes maior.
- Confundir o volume com a área lateral. π × r × g é a área lateral do cone e leva unidade quadrada.
- Dividir só o raio ou só a altura por 3, em vez de dividir o produto completo. A terça parte aplica-se a π × r2 × h.
- Arredondar π cedo demais em problemas com várias etapas. Mantenha π até ao fim, tal como no funil do exemplo 4, onde ele se simplifica.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule o volume de um cone com 3 cm de raio e 7 cm de altura (π ≈ 3,14).
Ver solução
V = 3,14 × 32 × 7 ÷ 3. Como 9 × 7 ÷ 3 = 21, vem 3,14 × 21 = 65,94 cm3.
2Exercício 2
Um cilindro e um cone têm o mesmo raio e a mesma altura. O cilindro tem volume 270 cm3. Qual é o volume do cone?
Ver solução
O cone tem um terço do volume do cilindro: 270 ÷ 3 = 90 cm3.
3Exercício 3
Um cone de raio 2 cm tem volume 25,12 cm3. Determine a altura (π ≈ 3,14).
Ver dica
Se V = π × r2 × h ÷ 3, então h = 3 × V ÷ (π × r2).
Ver solução
A área da base é 3,14 × 4 = 12,56 cm2. Então h = 3 × 25,12 ÷ 12,56 = 75,36 ÷ 12,56 = 6 cm. Verificação: 12,56 × 6 ÷ 3 = 25,12.
4Exercício 4
Um cone tem raio da base 3 cm e geratriz 5 cm. Calcule a altura e o volume (π ≈ 3,14).
Ver solução
h2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16, logo h = 4 cm. V = 3,14 × 9 × 4 ÷ 3 = 3,14 × 12 = 37,68 cm3.
5Exercício 5
Um recipiente cónico de 6 cm de raio e 12 cm de altura está cheio de água, que é despejada num cilindro com 6 cm de raio. Que altura atinge a água no cilindro?
Ver dica
Iguale os dois volumes; o π simplifica-se.
Ver solução
Volume do cone: (1/3) × π × 36 × 12 = 144π cm3. No cilindro: π × 36 × H. Então 36 × H = 144 e H = 4 cm, que é a terça parte da altura do cone. Isto confirma que o cone tem um terço do volume do cilindro de igual base e altura.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o volume do cone?
V = (1/3) × π × r2 × h. É a fórmula do cilindro dividida por 3. Precisa apenas do raio da base e da altura perpendicular; a geratriz só entra se for necessário calcular h.
Qual é a diferença entre altura e geratriz?
A altura é perpendicular à base e vai do vértice ao centro do círculo; a geratriz é o segmento inclinado que vai do vértice à circunferência da base. A geratriz é sempre maior do que a altura, porque é a hipotenusa do triângulo retângulo com h e r.
Como converto o volume para litros?
Se o volume estiver em cm3, divida por 1 000; se estiver em m3, multiplique por 1 000. Por exemplo, 18,84 m3 correspondem a 18 840 litros.
Como verificar se o resultado está correto?
Calcule o cilindro com a mesma base e altura e confirme que o cone é um terço dele. Pode também multiplicar o resultado por 3 e ver se volta a π × r2 × h.
Resumo
- Volume do cone: V = π × r2 × h ÷ 3, isto é, um terço do cilindro de igual base e altura.
- A altura h é perpendicular à base; a geratriz g é inclinada, com g2 = r2 + h2.
- Se vier o diâmetro, divida por 2 para obter o raio.
- Deixar π no resultado dá o valor exato; com π ≈ 3,14 o valor é aproximado.
- A unidade é cúbica: 1 dm3 = 1 L e 1 m3 = 1 000 L.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), com exercícios de volume de cones e outros sólidos.
- A Khan Academy, que tem lições de geometria disponíveis em português.
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