Matemática · 5.ª–12.ª classe
Como calcular o volume do cilindro?
Resposta curta
O volume do cilindro é a área da base circular multiplicada pela altura: V = π × r2 × h, em que r é o raio da base e h a altura. Um cilindro com r = 3 cm e h = 10 cm tem V = 3,14 × 9 × 10 = 282,6 cm3, usando π ≈ 3,14. Se o enunciado der o diâmetro, divida-o por 2 para obter o raio.
O que é e quando se aplica
O cilindro (circular reto) é o sólido com duas bases circulares, paralelas e iguais, e uma superfície lateral curva. Têm esta forma um bidão, uma lata de conservas, um depósito de água, um tubo, um copo, um rolo de tecido. Sempre que quiser saber quanto líquido cabe dentro, ou quanto material ocupa, calcula-se o volume.
A ideia é a mesma do prisma: o volume é «área da base × altura». A única diferença é que a base é um círculo, cuja área é π × r2. Por isso:
Volume do cilindro
V = Ab × h = π × r2 × h Raio: r = d ÷ 2 (d é o diâmetro) Área da base: Ab = π × r2
O papel do π
π é um número com infinitas casas decimais (3,14159...). Nos exercícios do ensino secundário usa-se 3,14 (ou 22/7), conforme o enunciado indicar. Há duas maneiras de responder:
- Resposta exata, deixando π: com r = 5 cm e h = 8 cm, V = π × 25 × 8 = 200π cm3.
- Resposta aproximada, substituindo π: 200 × 3,14 = 628 cm3.
Se o enunciado não disser nada, indique primeiro o valor exato e depois a aproximação, ou siga a instrução da sua escola.
Método passo a passo
- Identifique o raio e a altura. Se vier o diâmetro, divida por 2: r = d ÷ 2.
- Uniformize as unidades (r e h na mesma unidade de comprimento).
- Calcule a área da base: eleve o raio ao quadrado (r × r) e multiplique por π.
- Multiplique pela altura: V = Ab × h.
- Escreva a unidade cúbica. Se pedirem litros, lembre-se de que 1 dm3 = 1 L e 1 000 cm3 = 1 L.
- Verifique com uma estimativa: o cilindro cabe dentro de uma caixa quadrada de lado 2r, com volume 4r2 × h, e o volume do cilindro é cerca de 78% desse valor (π ÷ 4 ≈ 0,785).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Raio e altura dados
Enunciado: Calcule o volume de um cilindro de 5 cm de raio e 8 cm de altura (use π ≈ 3,14).
Resolução:
- Ab = π × r2 = 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm2.
- V = 78,5 × 8 = 628.
Resposta: V = 628 cm3 (ou 200π cm3, em valor exato). Verificação: a caixa de 10 × 10 × 8 tem 800 cm3 e 628 ÷ 800 ≈ 0,785.
Exemplo 2 — Depósito de água (diâmetro dado)
Enunciado: Um depósito cilíndrico tem 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Quantos litros de água cabem nele (π ≈ 3,14)?
Resolução:
- O raio é metade do diâmetro: r = 2 ÷ 2 = 1 m.
- V = 3,14 × 12 × 3 = 3,14 × 3 = 9,42 m3.
- Como 1 m3 = 1 000 L, tem-se 9,42 × 1 000 = 9 420 L.
Resposta: cabem 9 420 litros. Verificação: a caixa de 2 × 2 × 3 = 12 m3 contém o depósito, e 9,42 é cerca de 78% de 12.
Exemplo 3 — Descobrir a altura
Enunciado: Um cilindro tem volume 1 570 cm3 e raio da base 5 cm. Qual é a sua altura (π ≈ 3,14)?
Resolução:
- Área da base: 3,14 × 25 = 78,5 cm2.
- De V = Ab × h tira-se h = 1 570 ÷ 78,5 = 20.
Resposta: a altura é 20 cm. Verificação: 78,5 × 20 = 1 570.
Exemplo 4 — Nível de exame: duas latas
Enunciado: A lata A tem raio 3 cm e altura 10 cm. A lata B tem raio 6 cm e altura 5 cm. Qual tem maior volume, e quantas vezes? (π ≈ 3,14)
Resolução:
- Lata A: V = 3,14 × 32 × 10 = 3,14 × 90 = 282,6 cm3.
- Lata B: V = 3,14 × 62 × 5 = 3,14 × 180 = 565,2 cm3.
- Razão: 565,2 ÷ 282,6 = 2.
Resposta: a lata B tem maior volume, o dobro da A. Verificação: duplicar o raio multiplica o volume por 22 = 4; reduzir a altura a metade multiplica por 1/2; 4 × 1/2 = 2.
Erros frequentes
- Usar o diâmetro como se fosse o raio. Como o raio entra ao quadrado, o erro multiplica o volume por 4. Escreva sempre r = d ÷ 2 antes de substituir.
- Esquecer o quadrado do raio e calcular π × r × h. Com r = 3, usar 3 em vez de 9 reduz o volume a um terço do valor certo.
- Confundir com o perímetro do círculo. 2 × π × r é o comprimento da circunferência; não serve para o volume.
- Confundir π × r2 com (π × r)2. Primeiro eleva-se o raio ao quadrado; só depois se multiplica por π.
- Misturar unidades, por exemplo um raio em cm e uma altura em m.
- Dar o resultado em cm2 ou em litros sem converter. Verifique a unidade pedida no enunciado.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule o volume de um cilindro com 2 cm de raio e 7 cm de altura (π ≈ 3,14).
Ver solução
Ab = 3,14 × 2 × 2 = 12,56 cm2. V = 12,56 × 7 = 87,92 cm3.
2Exercício 2
Uma lata cilíndrica tem 10 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Calcule o volume (π ≈ 3,14).
Ver dica
Comece por calcular o raio.
Ver solução
r = 10 ÷ 2 = 5 cm. Ab = 3,14 × 25 = 78,5 cm2. V = 78,5 × 12 = 942 cm3.
3Exercício 3
Um copo cilíndrico tem 4 cm de raio e 10 cm de altura. Quantos mililitros de água leva se estiver cheio? (π ≈ 3,14)
Ver dica
1 cm3 = 1 mL.
Ver solução
V = 3,14 × 4 × 4 × 10 = 3,14 × 160 = 502,4 cm3. Como 1 cm3 = 1 mL, leva 502,4 mL, pouco mais de meio litro.
4Exercício 4
Um cilindro de raio 10 cm tem volume 1 884 cm3. Qual é a altura? (π ≈ 3,14)
Ver solução
Ab = 3,14 × 10 × 10 = 314 cm2. h = 1 884 ÷ 314 = 6 cm, porque 314 × 6 = 1 884.
5Exercício 5
Um cilindro com 9 cm de altura tem volume 452,16 cm3. Determine o raio e o diâmetro da base (π ≈ 3,14).
Ver dica
Calcule primeiro a área da base e depois procure o número que, multiplicado por si, dá r2.
Ver solução
Ab = 452,16 ÷ 9 = 50,24 cm2. Então 3,14 × r2 = 50,24, logo r2 = 50,24 ÷ 3,14 = 16 e r = 4 cm. O diâmetro é 2 × 4 = 8 cm. Verificação: 3,14 × 16 × 9 = 50,24 × 9 = 452,16.
Perguntas frequentes
Que valor de π devo usar?
O que o enunciado indicar: 3,14, 3,1416 ou 22/7. Se não indicar nada, use o valor da tecla π da calculadora ou deixe o resultado em função de π (por exemplo, 200π cm3). Respostas diferentes só por causa do arredondamento de π são normais.
Porque é que o raio aparece ao quadrado?
Porque a área do círculo, que é a base, depende de duas dimensões: π × r × r. Daí que, ao duplicar o raio, a área da base (e o volume) fique quatro vezes maior, e não duas.
Como passo o volume de cm3 para litros?
Divida por 1 000: 2 355 cm3 = 2,355 L. Pelo caminho inverso, 1 litro tem 1 000 cm3. Se o volume estiver em m3, multiplique por 1 000 para obter litros.
A fórmula serve para um cilindro oblíquo?
Serve, desde que h seja a distância perpendicular entre as bases. Pelo princípio de Cavalieri, o cilindro oblíquo tem o mesmo volume do reto com igual base e igual altura.
Resumo
- Volume do cilindro: V = π × r2 × h (área da base × altura).
- O raio é metade do diâmetro: r = d ÷ 2.
- Com π ≈ 3,14 obtém-se um valor aproximado; deixar π dá o valor exato.
- O resultado leva unidade cúbica; 1 dm3 = 1 L e 1 cm3 = 1 mL.
- Duplicar o raio quadruplica o volume; duplicar a altura apenas o duplica.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), com exercícios de volume de cilindros.
- A Khan Academy, que tem lições de geometria disponíveis em português.
Continue a estudar
Como calcular o volume do prisma?
O volume de qualquer prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma: V = Ab × h. Primeiro calcula-se a área da base (triângulo, retângulo, trapézio…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular o volume da pirâmide?
O volume da pirâmide é um terço da área da base vezes a altura: V = (Ab × h) ÷ 3. A altura é a distância perpendicular do vértice ao plano da base. Pirâmide de base…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular o volume do cubo?
O volume do cubo calcula-se multiplicando a aresta por si própria três vezes: V = a × a × a = a3. Um cubo de aresta 4 cm tem V = 4 × 4 × 4 = 64 cm3. A aresta tem de…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular o volume do paralelepípedo?
O volume do paralelepípedo retângulo (a «caixa» dos exercícios) obtém-se multiplicando as três dimensões: V = comprimento × largura × altura, ou seja, área da base…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Ver tudo de Matemática · Capítulo: Sólidos geométricos e volumes