Matemática · 5.ª–12.ª classe
Como calcular o volume do paralelepípedo?
Resposta curta
O volume do paralelepípedo retângulo (a «caixa» dos exercícios) obtém-se multiplicando as três dimensões: V = comprimento × largura × altura, ou seja, área da base vezes altura. Uma caixa de 5 cm × 4 cm × 3 cm tem V = 5 × 4 × 3 = 60 cm3. As três medidas têm de estar na mesma unidade.
O que é e quando se aplica
Um paralelepípedo é um sólido com 6 faces que são paralelogramos, paralelas duas a duas. Na escola, o caso mais usado é o paralelepípedo retângulo (também chamado ortoedro ou bloco retangular): todas as faces são retângulos e as arestas que se encontram num vértice são perpendiculares. Tem esta forma uma caixa de sapatos, um tijolo, um aquário, uma sala, um contentor de mercadorias.
Aplica-se a fórmula sempre que se pede o espaço ocupado por um objeto assim: a quantidade de água que cabe num tanque, o volume de ar numa sala, a quantidade de terra que enche um canteiro.
Paralelepípedo retângulo de dimensões c, l e h
Volume: V = c × l × h Ou: V = Ab × h, com Ab = c × l (área da base) Área total: A = 2 × (c × l + c × h + l × h)
Porque é que se multiplicam as três medidas
A base tem c × l quadradinhos de 1 unidade de lado. Sobre cada quadradinho empilham-se h cubinhos, tantos quantos a altura. O total de cubinhos é (c × l) × h, que é o volume. Para a caixa 5 × 4 × 3: 20 cubinhos por camada e 3 camadas, 20 × 3 = 60.
Qualquer face pode servir de base. Multiplicar 5 × 4 × 3, 3 × 4 × 5 ou 4 × 3 × 5 dá sempre 60, porque a multiplicação é comutativa. E, se o paralelepípedo for oblíquo (inclinado), o volume continua a ser a área da base vezes a altura perpendicular à base, nunca vezes o comprimento da aresta inclinada.
Método passo a passo
- Anote as três dimensões com unidades: comprimento, largura e altura (o nome de cada uma é indiferente).
- Converta para a mesma unidade se vierem misturadas (m com cm, por exemplo).
- Escreva a fórmula V = c × l × h e substitua os valores.
- Multiplique em duas etapas: primeiro c × l (a área da base), depois multiplique pela altura.
- Escreva a unidade cúbica. Se pedem litros, converta no fim (1 dm3 = 1 L; 1 m3 = 1 000 L).
- Verifique com uma estimativa: arredonde as medidas e confirme que a ordem de grandeza é a mesma.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Um tijolo
Enunciado: Um tijolo tem 30 cm de comprimento, 15 cm de largura e 10 cm de altura. Qual é o seu volume?
Resolução:
- V = 30 × 15 × 10.
- 30 × 15 = 450 (área da base, em cm2).
- 450 × 10 = 4 500.
Resposta: V = 4 500 cm3. Verificação: 4 500 ÷ 10 = 450 e 450 ÷ 15 = 30, voltando ao comprimento.
Exemplo 2 — Água num tanque
Enunciado: Um tanque retangular tem 2,5 m de comprimento e 1,2 m de largura. A água atinge 0,8 m de altura. Quantos litros de água tem?
Resolução:
- V = 2,5 × 1,2 × 0,8.
- 2,5 × 1,2 = 3 e 3 × 0,8 = 2,4 (m3).
- Como 1 m3 = 1 000 L, tem-se 2,4 × 1 000 = 2 400 L.
Resposta: o tanque contém 2 400 litros. Verificação: estimativa, 2,5 × 1 × 1 = 2,5 m3, valor próximo de 2,4.
Exemplo 3 — Descobrir a altura
Enunciado: Uma caixa tem volume 360 cm3 e a base mede 12 cm por 5 cm. Qual é a altura?
Resolução:
- Área da base: 12 × 5 = 60 cm2.
- De V = Ab × h tira-se h = V ÷ Ab = 360 ÷ 60 = 6.
Resposta: a altura é 6 cm. Verificação: 12 × 5 × 6 = 360.
Exemplo 4 — Nível de exame: unidades diferentes
Enunciado: Um aquário mede 80 cm de comprimento, 0,5 m de largura e 40 cm de altura. (a) Qual é a sua capacidade em litros? (b) Quantos litros leva se for enchido até 3/4 da altura?
Resolução:
- Converta tudo para decímetros: 80 cm = 8 dm, 0,5 m = 5 dm, 40 cm = 4 dm.
- (a) V = 8 × 5 × 4 = 160 dm3 = 160 L.
- (b) A água ocupa 3/4 da altura, logo 3/4 do volume: 160 × 3 ÷ 4 = 480 ÷ 4 = 120 L.
Resposta: (a) 160 L; (b) 120 L. Verificação: a altura da água é 3/4 de 4 dm = 3 dm, e 8 × 5 × 3 = 120 dm3.
Erros frequentes
- Somar as dimensões em vez de as multiplicar. 5 + 4 + 3 = 12 não é o volume; é 5 × 4 × 3 = 60.
- Multiplicar só duas medidas e parar na área da base. O resultado em cm2 é sinal de que falta multiplicar pela altura.
- Confundir volume com área total. A fórmula 2(cl + ch + lh) dá a área de papel necessária para forrar a caixa, não o espaço no interior.
- Deixar as unidades misturadas. Um comprimento em metros multiplicado por larguras em centímetros produz um número sem sentido.
- Errar a conversão para litros: 1 m3 são 1 000 litros, e não 100 nem 10 000.
- Usar a aresta inclinada como altura num paralelepípedo oblíquo. A altura é a distância perpendicular entre as bases.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule o volume de um paralelepípedo com 7 cm de comprimento, 4 cm de largura e 2 cm de altura.
Ver solução
V = 7 × 4 × 2 = 28 × 2 = 56 cm3.
2Exercício 2
Uma sala de aulas em Luanda mede 6 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura. Qual é o volume de ar que contém?
Ver solução
V = 6 × 4 × 3 = 24 × 3 = 72 m3.
3Exercício 3
Um paralelepípedo tem volume 240 cm3, comprimento 10 cm e largura 6 cm. Determine a altura.
Ver dica
Comece por calcular a área da base.
Ver solução
Área da base: 10 × 6 = 60 cm2. Altura: 240 ÷ 60 = 4 cm. Verificação: 10 × 6 × 4 = 240.
4Exercício 4
Uma caixa mede 50 cm × 30 cm × 20 cm. Qual é a sua capacidade em litros?
Ver dica
1 000 cm3 correspondem a 1 litro.
Ver solução
V = 50 × 30 × 20 = 1 500 × 20 = 30 000 cm3. Como 1 000 cm3 = 1 L, a capacidade é 30 000 ÷ 1 000 = 30 litros.
5Exercício 5
Quantas caixas de 20 cm × 10 cm × 10 cm cabem, sem folgas, num caixote de 80 cm × 40 cm × 30 cm? Resolva de duas formas.
Ver solução
Primeira forma, por volumes: o caixote tem 80 × 40 × 30 = 96 000 cm3 e cada caixa 20 × 10 × 10 = 2 000 cm3; 96 000 ÷ 2 000 = 48.
Segunda forma, por dimensões: 80 ÷ 20 = 4, 40 ÷ 10 = 4 e 30 ÷ 10 = 3 caixas em cada direção, logo 4 × 4 × 3 = 48. Cabem 48 caixas. A divisão dos volumes só dá o número certo porque as caixas encaixam exatamente.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o volume do paralelepípedo?
Num paralelepípedo retângulo, V = c × l × h. Como c × l é a área da base, também se escreve V = Ab × h, que serve para qualquer paralelepípedo, mesmo oblíquo, desde que h seja a altura perpendicular.
Qual é a diferença entre paralelepípedo e ortoedro?
Todo o ortoedro é um paralelepípedo, mas o contrário não é verdade. No ortoedro (ou paralelepípedo retângulo) as faces são retângulos; num paralelepípedo geral as faces são paralelogramos e as arestas podem ser inclinadas. Nos exercícios do ensino secundário, «paralelepípedo» costuma significar o retangular.
Posso escolher qualquer dimensão como altura?
Pode. O produto c × l × h não depende da ordem, por isso o volume é o mesmo. Escolha a ordem que torne a conta mais simples, como multiplicar primeiro dois números que dão uma dezena exata.
Como passar o volume para litros?
Converta as medidas para decímetros antes de multiplicar, e o resultado já vem em litros (1 dm3 = 1 L). Se já tiver o volume em cm3, divida por 1 000; se o tiver em m3, multiplique por 1 000.
Resumo
- Paralelepípedo retângulo: V = c × l × h = Ab × h.
- As três medidas devem estar na mesma unidade, e o resultado leva unidade cúbica.
- Para achar uma dimensão em falta, divida o volume pelo produto das outras duas.
- 1 dm3 = 1 L; 1 000 cm3 = 1 L; 1 m3 = 1 000 L.
- Num paralelepípedo oblíquo, use sempre a altura perpendicular à base.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), com exercícios de volume de sólidos retangulares.
- A Khan Academy, que tem lições de geometria e medida disponíveis em português.
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