Matemática · 5.ª–12.ª classe
Como calcular o volume do prisma?
Resposta curta
O volume de qualquer prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma: V = Ab × h. Primeiro calcula-se a área da base (triângulo, retângulo, trapézio, polígono regular...), depois multiplica-se pela distância entre as duas bases. Prisma triangular com base de área 12 cm2 e altura 10 cm: V = 12 × 10 = 120 cm3.
O que é um prisma
Um prisma é um sólido com duas faces paralelas e iguais, chamadas bases, ligadas por faces laterais que são paralelogramos (num prisma reto, retângulos). O nome do prisma vem da base: se a base é um triângulo, o prisma é triangular; se é um pentágono, é pentagonal; se é um retângulo, obtém-se o paralelepípedo retângulo, que é um caso particular de prisma.
Duas ideias separam este tema de outros sólidos:
- A base não é necessariamente a face «de baixo». É o par de faces paralelas e iguais que dá nome ao prisma. Um prisma triangular deitado, como uma tenda ou uma vala, tem as bases nas extremidades.
- A altura do prisma é a distância entre os planos das duas bases. Não é a altura do triângulo (ou do trapézio) da base, que é outra grandeza.
Volume do prisma
V = Ab × h Ab = área da base; h = altura do prisma (distância entre as bases)
Áreas de bases mais comuns
| Base | Área |
|---|---|
| Retângulo (c × l) | c × l |
| Triângulo (base b, altura ht) | b × ht ÷ 2 |
| Paralelogramo | base × altura |
| Trapézio (bases B e b, altura ht) | (B + b) ÷ 2 × ht |
| Polígono regular | perímetro × apótema ÷ 2 |
Se o prisma for oblíquo, a fórmula é a mesma, desde que h seja a altura perpendicular às bases. Isto resulta do princípio de Cavalieri: dois sólidos com bases iguais e a mesma altura, cortados à mesma altura por secções de igual área, têm o mesmo volume.
Método passo a passo
- Identifique as bases: as duas faces paralelas e iguais. Diga o nome do polígono (triângulo, trapézio...).
- Calcule a área da base com a fórmula desse polígono, usando só as medidas que pertencem à base.
- Identifique a altura do prisma (a distância entre as bases) e confirme que está na mesma unidade.
- Multiplique: V = Ab × h.
- Escreva a unidade cúbica (cm3, m3).
- Verifique que usou duas alturas diferentes quando a base é um triângulo ou trapézio: a da base (para a área) e a do prisma (para o volume).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Prisma triangular
Enunciado: A base de um prisma é um triângulo de 6 cm de base e 4 cm de altura. O prisma tem 10 cm de altura. Calcule o volume.
Resolução:
- Área da base: Ab = 6 × 4 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 cm2.
- V = Ab × h = 12 × 10 = 120.
Resposta: V = 120 cm3. Verificação: o prisma triangular é metade de um paralelepípedo de 6 × 4 × 10 = 240 cm3, e 240 ÷ 2 = 120.
Exemplo 2 — Vala de drenagem (trapézio)
Enunciado: Uma vala tem secção em forma de trapézio, com 1,2 m de largura no topo, 0,8 m no fundo e 0,5 m de profundidade. A vala tem 20 m de comprimento. Que volume de terra foi escavado?
Resolução:
- A base do prisma é o trapézio da secção: Ab = (1,2 + 0,8) ÷ 2 × 0,5 = 1 × 0,5 = 0,5 m2.
- A altura do prisma é o comprimento da vala, 20 m (o prisma está «deitado»).
- V = 0,5 × 20 = 10.
Resposta: foram escavados 10 m3 de terra. Verificação: a secção média é 1 m de largura por 0,5 m de profundidade, e 1 × 0,5 × 20 = 10.
Exemplo 3 — Descobrir a altura
Enunciado: Um prisma tem volume 270 cm3 e a base é um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 9 cm. Determine a altura do prisma.
Resolução:
- Num triângulo retângulo, os catetos são base e altura um do outro: Ab = 6 × 9 ÷ 2 = 54 ÷ 2 = 27 cm2.
- De V = Ab × h vem h = 270 ÷ 27 = 10.
Resposta: a altura do prisma é 10 cm. Verificação: 27 × 10 = 270.
Exemplo 4 — Nível de exame: base hexagonal
Enunciado: Um prisma reto tem por base um hexágono regular de 6 cm de lado e apótema aproximadamente igual a 5,2 cm. A altura do prisma é 10 cm. Calcule o volume.
Resolução:
- Perímetro da base: 6 × 6 = 36 cm.
- Área da base: Ab = 36 × 5,2 ÷ 2 = 187,2 ÷ 2 = 93,6 cm2.
- V = 93,6 × 10 = 936.
Resposta: V ≈ 936 cm3 (aproximado, porque o apótema está arredondado). Verificação: a base tem um pouco menos de 100 cm2, logo o volume é um pouco menos de 1 000 cm3.
Erros frequentes
- Usar a altura do triângulo da base como altura do prisma. São duas medidas diferentes: uma serve para a área da base, a outra para o volume final.
- Esquecer o ÷ 2 na área do triângulo e, no trapézio, esquecer de dividir a soma das bases por 2.
- Julgar que a base é sempre a face «de baixo». Num prisma deitado, as bases estão nas extremidades e a altura é o comprimento.
- Multiplicar todas as medidas que aparecem no enunciado sem perceber qual pertence à base e qual é a altura do prisma.
- Usar a aresta lateral como altura num prisma oblíquo, quando deveria usar a distância perpendicular entre as bases.
- Dar o resultado em unidades quadradas. O volume precisa de unidade cúbica; se acabar em cm2, falta multiplicar pela altura.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Um prisma triangular tem base de área 15 cm2 e altura 6 cm. Calcule o volume.
Ver solução
V = Ab × h = 15 × 6 = 90 cm3.
2Exercício 2
Um prisma tem por base um retângulo de 5 cm por 3 cm e 10 cm de altura. Calcule o volume.
Ver solução
Ab = 5 × 3 = 15 cm2. V = 15 × 10 = 150 cm3.
3Exercício 3
Um prisma quadrangular regular tem 5 cm de aresta da base e volume 200 cm3. Qual é a sua altura?
Ver dica
A base é um quadrado.
Ver solução
Ab = 5 × 5 = 25 cm2. De V = Ab × h tira-se h = 200 ÷ 25 = 8 cm.
4Exercício 4
Uma tenda tem a forma de um prisma triangular. A frente (triângulo) tem 3 m de base e 2 m de altura, e a tenda tem 4 m de comprimento. Qual é o volume de ar no interior?
Ver dica
O triângulo da frente é a base do prisma.
Ver solução
Ab = 3 × 2 ÷ 2 = 3 m2. A altura do prisma é o comprimento da tenda, 4 m. V = 3 × 4 = 12 m3.
5Exercício 5
A base de um prisma é um trapézio de bases 10 cm e 6 cm e altura 4 cm. O prisma tem 12 cm de altura. Calcule o volume.
Ver dica
Não confunda a altura do trapézio com a altura do prisma.
Ver solução
Ab = (10 + 6) ÷ 2 × 4 = 8 × 4 = 32 cm2. V = 32 × 12 = 384 cm3.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o volume do prisma?
É V = Ab × h, ou seja, área da base vezes altura. Vale para qualquer prisma, qualquer que seja o polígono da base e quer o prisma seja reto quer seja oblíquo.
Como saber qual é a base de um prisma?
A base é uma das duas faces paralelas e iguais. As restantes faces (laterais) são paralelogramos. Num desenho de um prisma triangular deitado, as bases são os triângulos das extremidades, e não o retângulo sobre o qual o sólido pousa.
O volume do prisma oblíquo é diferente do do prisma reto?
Não, se a base e a altura perpendicular forem as mesmas. Pelo princípio de Cavalieri, a inclinação das arestas laterais não altera o volume. Altera apenas a área lateral.
Como verificar se o resultado está correto?
Reconstrua o valor pela ordem inversa: divida o volume pela altura e veja se volta à área da base. Num prisma triangular, faça também uma estimativa: o volume é metade do de um paralelepípedo com a base e a altura do triângulo e a altura do prisma (6 × 4 × 10 ÷ 2 = 120 no primeiro exemplo).
Resumo
- Volume do prisma: V = Ab × h.
- Primeiro calcula-se a área da base, de acordo com o polígono; só depois se multiplica pela altura.
- A altura do prisma é a distância entre as bases, não a altura do triângulo ou trapézio da base.
- Em prismas deitados (tendas, valas, telhados), a altura do prisma é o comprimento.
- A fórmula também vale para o prisma oblíquo, com a altura perpendicular.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Prealgebra (em inglês), nas secções de geometria com áreas e volumes.
- Os Elementos de Euclides, cujo Livro XI trata dos sólidos, para quem quiser conhecer a origem histórica da teoria.
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