Matemática · 8.ª–12.ª classe

Como estudar o sinal de uma função?

  • 10 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Estudar o sinal de f é indicar em que intervalos f(x) é positiva, negativa ou nula. Passos: determine o domínio, calcule os zeros, marque-os (e os valores fora do domínio) numa tabela de sinais, descubra o sinal em cada intervalo com um valor de teste ou com a regra do sinal de a, e escreva a conclusão em intervalos.

Quando se aplica

Estudar o sinal serve para saber onde o gráfico está acima do eixo dos xx (f > 0) e onde está abaixo (f < 0), sem desenhar. É a base para resolver inequações, determinar o domínio de raízes e interpretar situações reais: lucro positivo ou prejuízo, temperatura acima ou abaixo de zero, saldo positivo ou negativo.

A ideia central é simples: uma função contínua só pode mudar de sinal num zero ou num ponto onde deixa de estar definida. Entre dois desses pontos consecutivos, o sinal mantém-se, e basta testar um valor em cada intervalo.

Atalhos para as funções mais comuns

FunçãoComo fica o sinal
Afim ax + b, com zero x0 = −b ÷ atem o sinal de a à direita do zero e o contrário à esquerda
Quadrática com dois zerostem o sinal de a fora dos zeros e o contrário entre eles
Quadrática com um zero duplotem o sinal de a em todo o lado, exceto no zero
Quadrática sem zeros (Δ < 0)tem o sinal de a em todo o ℝ
Produto ou quocienteusa-se a tabela de sinais e a regra dos sinais

Método passo a passo

  1. Determine o domínio (denominadores diferentes de zero, radicandos não negativos).
  2. Calcule os zeros: resolva f(x) = 0 (num quociente, o zero do numerador que pertence ao domínio).
  3. Ordene os zeros e os pontos fora do domínio e construa a tabela: uma linha por intervalo e uma por cada ponto especial.
  4. Determine o sinal em cada intervalo: escolha um valor de teste que não seja zero nem esteja fora do domínio, ou use os atalhos acima. Num produto ou quociente, estude o sinal de cada fator e aplique a regra dos sinais.
  5. Escreva a conclusão em intervalos: onde f > 0, onde f < 0 e onde f = 0 (os zeros). Nos pontos fora do domínio, escreva «não existe».
  6. Verifique com um valor de cada intervalo diretamente na função.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Função afim

Enunciado: Estude o sinal de f(x) = 2x − 6.

Resolução:

  1. Domínio ℝ. Zero: 2x − 6 = 0, logo x = 3.
  2. Como a = 2 > 0, a função é crescente: negativa à esquerda do zero e positiva à direita.

Resposta: f(x) < 0 para x < 3; f(3) = 0; f(x) > 0 para x > 3. Verificação: f(0) = −6 < 0 e f(4) = 2 > 0.

Exemplo 2 — Função quadrática

Enunciado: Estude o sinal de f(x) = x2 − 2x − 3.

Resolução:

  1. Zeros: x2 − 2x − 3 = 0 fatoriza-se em (x − 3)(x + 1) = 0, logo x = −1 ou x = 3.
  2. Como a = 1 > 0, a parábola abre para cima: positiva fora dos zeros e negativa entre eles.

Resposta: f > 0 em ]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[; f < 0 em ]−1, 3[; f = 0 em x = −1 e x = 3. Verificação: f(−2) = 4 + 4 − 3 = 5 > 0; f(0) = −3 < 0; f(4) = 16 − 8 − 3 = 5 > 0.

Exemplo 3 — Quociente de funções afins

Enunciado: Estude o sinal de f(x) = (x − 1) ÷ (x + 2).

Resolução:

  1. Domínio: x + 2 ≠ 0, logo D = ℝ ∖ {−2}. Zero: x − 1 = 0, logo x = 1.
  2. Tabela de sinais (cada fator tem o sinal de a à direita do seu zero):
Intervalox − 1x + 2(x − 1) ÷ (x + 2)
]−∞, −2[−−+
x = −2−0não existe
]−2, 1[−+−
x = 10+0
]1, +∞[+++

Resposta: f > 0 em ]−∞, −2[ ∪ ]1, +∞[; f < 0 em ]−2, 1[; f(1) = 0; f não existe em x = −2. Verificação: f(−3) = (−4) ÷ (−1) = 4 > 0; f(0) = −1 ÷ 2 < 0; f(2) = 1 ÷ 4 > 0.

Exemplo 4 — Nível de exame: quociente de quadráticas

Enunciado: Estude o sinal de f(x) = (x2 − 4) ÷ (x2 − 3x).

Resolução:

  1. Fatorização: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) e x2 − 3x = x(x − 3).
  2. Domínio: x(x − 3) ≠ 0, logo D = ℝ ∖ {0, 3}. Zeros: x = −2 e x = 2 (ambos no domínio).
  3. Os pontos especiais, por ordem, são −2, 0, 2 e 3. O numerador é positivo fora de [−2, 2] e negativo entre −2 e 2; o denominador é positivo fora de [0, 3] e negativo entre 0 e 3.
Intervalox2 − 4x2 − 3xf(x)
]−∞, −2[+++
x = −20+0
]−2, 0[−+−
x = 0−0não existe
]0, 2[−−+
x = 20−0
]2, 3[+−−
x = 3+0não existe
]3, +∞[+++

Resposta: f > 0 em ]−∞, −2[ ∪ ]0, 2[ ∪ ]3, +∞[; f < 0 em ]−2, 0[ ∪ ]2, 3[; zeros −2 e 2. Verificação: f(−3) = 5 ÷ 18 > 0; f(−1) = −3 ÷ 4 < 0; f(1) = −3 ÷ (−2) = 1,5 > 0; f(2,5) = 2,25 ÷ (−1,25) < 0; f(4) = 12 ÷ 4 = 3 > 0.

Erros frequentes

  • Dar só os zeros e não os intervalos. Estudar o sinal pede a conclusão em intervalos: onde é positiva e onde é negativa.
  • Trocar o sinal da parábola: com a > 0 a quadrática é positiva fora das raízes, não entre elas. Teste sempre um valor.
  • Esquecer os pontos fora do domínio num quociente: aí a função não existe e o intervalo é aberto.
  • Incluir o zero do denominador como zero da função. Só o numerador dá zeros, e apenas os que pertencem ao domínio.
  • Errar a regra dos sinais na linha do quociente (menos com menos dá mais; menos com mais dá menos).
  • Testar um valor que é zero ou está fora do domínio: o teste não diz nada. Escolha valores no interior dos intervalos.
  • Confundir «f > 0» com «f ≥ 0»: o primeiro exclui os zeros, o segundo inclui-os.
  • Assumir que o sinal muda em todos os zeros. Num zero duplo, como em f(x) = (x − 2)2, o sinal não muda.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Estude o sinal de f(x) = −3x + 9.

Ver solução

Zero: −3x + 9 = 0 dá x = 3. Como a = −3 < 0, a função é decrescente: positiva à esquerda do zero e negativa à direita. f > 0 para x < 3; f(3) = 0; f < 0 para x > 3. Verificação: f(0) = 9 > 0 e f(4) = −3 < 0.

2Exercício 2

Estude o sinal de f(x) = x2 − 9.

Ver solução

Zeros: x2 = 9 dá x = −3 ou x = 3. Como a = 1 > 0, é positiva fora dos zeros. f > 0 em ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[; f < 0 em ]−3, 3[. Verificação: f(0) = −9 < 0 e f(4) = 7 > 0.

3Exercício 3

Estude o sinal de f(x) = x2 + 2x + 5.

Ver dica

Calcule o discriminante.

Ver solução

Δ = 4 − 20 = −16 < 0, logo f não tem zeros. Como a = 1 > 0, f(x) > 0 para todo o x real. Verificação: f(−1) = 1 − 2 + 5 = 4 > 0 e f(0) = 5 > 0.

4Exercício 4

Estude o sinal de f(x) = (2 − x) ÷ (x + 1).

Ver dica

O fator 2 − x tem a = −1: é positivo à esquerda de 2.

Ver solução

Domínio: ℝ ∖ {−1}. Zero: x = 2. Tabela: para x < −1, 2 − x > 0 e x + 1 < 0, logo f < 0; para −1 < x < 2, ambos positivos, logo f > 0; para x > 2, 2 − x < 0 e x + 1 > 0, logo f < 0. f > 0 em ]−1, 2[; f < 0 em ]−∞, −1[ ∪ ]2, +∞[; f(2) = 0; f não existe em −1. Verificação: f(−2) = 4 ÷ (−1) = −4; f(0) = 2; f(3) = −1 ÷ 4.

5Exercício 5

O lucro diário de uma banca de venda de fruta, em milhares de kwanzas, é L(x) = −x2 + 10x − 16, em que x é o número de caixas vendidas. Para que valores de x há lucro? E prejuízo? Qual é o lucro máximo?

Ver dica

Resolva L(x) = 0; como a < 0, L é positiva entre os zeros.

Ver solução

−x2 + 10x − 16 = 0 equivale a x2 − 10x + 16 = 0, com Δ = 100 − 64 = 36, logo x = (10 ± 6) ÷ 2, isto é, x = 2 ou x = 8. Como a = −1 < 0, L > 0 entre os zeros. Há lucro para 2 < x < 8 caixas; há prejuízo para 0 ≤ x < 2 ou x > 8; em x = 2 e x = 8 o lucro é nulo. O vértice está em x = 5 e L(5) = −25 + 50 − 16 = 9, isto é, lucro máximo de 9 mil kwanzas com 5 caixas. Verificação: L(0) = −16 < 0, L(5) = 9 > 0 e L(9) = −81 + 90 − 16 = −7 < 0.

Perguntas frequentes

Quando se usa o estudo do sinal?

Sempre que se quer saber onde uma função é positiva ou negativa: em inequações, no domínio de raízes, em problemas de lucro e prejuízo e na leitura de gráficos. Num exame, costuma aparecer com uma tabela de sinais.

Existe um método mais rápido?

Para a função afim e a quadrática, os atalhos do sinal de a dispensam a tabela. Para produtos e quocientes, a tabela é o método mais fiável, porque organiza o sinal de cada fator.

Qual é a diferença entre estudar o sinal e resolver uma inequação?

Estudar o sinal dá a imagem completa: onde f é positiva, negativa e nula. Resolver f(x) > 0 é escolher só a parte positiva dessa imagem. Quem sabe estudar o sinal resolve qualquer inequação do tipo f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) ≥ 0.

E se o zero for duplo?

Num zero duplo, o sinal não muda. Em f(x) = (x − 2)2, f(x) > 0 para qualquer x diferente de 2 e f(2) = 0. A parábola toca o eixo dos xx e volta para cima.

Resumo

  • Estudar o sinal é dizer onde f é positiva, negativa e nula, em intervalos.
  • Os sinais só mudam nos zeros e nos pontos onde a função não existe.
  • Afim: sinal de a à direita do zero; quadrática: sinal de a fora dos zeros, contrário entre eles.
  • Em quocientes e produtos, use a tabela de sinais com uma linha por intervalo e por ponto especial.
  • Verifique com um valor de teste em cada intervalo e não esqueça as exclusões do domínio.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), secções sobre inequações polinomiais e racionais.

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