Matemática · 8.ª–12.ª classe
O que é a função afim?
Resposta curta
A função afim é a função da forma f(x) = ax + b, com a e b números reais. O seu gráfico é uma reta: a é o declive (diz se sobe ou desce) e b é a ordenada na origem, o valor de f(0). Se b = 0, chama-se função linear e a reta passa pela origem.
Definição e características
Função afim
f(x) = ax + b a = declive (coeficiente de x); b = ordenada na origem = f(0) Zero da função: x = −b ÷ a (com a ≠ 0)
O que dizem os coeficientes
| Coeficiente | Efeito no gráfico |
|---|---|
| a maior que 0 | função crescente: a reta sobe da esquerda para a direita |
| a menor que 0 | função decrescente: a reta desce |
| a = 0 | função constante f(x) = b: reta horizontal |
| b | ponto (0, b), onde a reta corta o eixo dos yy |
O declive mede a variação de y por cada unidade de x. Se a = 3, sempre que x aumenta 1, y aumenta 3.
Declive a partir de dois pontos
Se a reta passa por (x1, y1) e (x2, y2), com x1 diferente de x2, então a = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1). Depois determina-se b substituindo um dos pontos em y = ax + b.
Zero e ponto de interseção
O zero resolve-se pela equação ax + b = 0, que dá x = −b ÷ a, e corresponde ao ponto onde o gráfico corta o eixo dos xx. Para saber onde duas retas se cruzam, igualam-se as expressões: f(x) = g(x).
Exemplos do quotidiano
Qualquer situação em que há um valor fixo mais um valor proporcional leva a uma função afim: o custo de uma corrida (bandeirada mais preço por quilómetro), a quantidade de água num depósito que se enche ou esvazia a ritmo constante, o saldo de um cartão que desce a um ritmo fixo por dia.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Ler e esboçar a função
Enunciado: Seja f(x) = 2x − 3. Indique o declive, a ordenada na origem, o zero e a monotonia, e calcule f(4).
Resolução:
- a = 2 e b = −3.
- Como a é positivo, a função é crescente.
- Zero: 2x − 3 = 0 → x = 3/2.
- f(4) = 8 − 3 = 5.
Resposta: declive 2, ordenada na origem −3, zero 3/2, crescente, f(4) = 5. Verificação: f(3/2) = 3 − 3 = 0.
Exemplo 2 — Determinar a expressão a partir de dois pontos
Enunciado: A reta de uma função afim passa pelos pontos (1, 5) e (3, 11). Determine f(x).
Resolução:
- a = (11 − 5) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3.
- Com o ponto (1, 5): 5 = 3 × 1 + b → b = 2.
Resposta: f(x) = 3x + 2. Verificação: f(3) = 9 + 2 = 11.
Exemplo 3 — Depósito que se esvazia
Enunciado: Um depósito tem 900 litros e perde 20 litros por minuto. Escreva V(t) e determine o volume ao fim de 10 minutos e quando fica vazio.
Resolução:
- V(t) = 900 − 20t, com t em minutos; a = −20 e b = 900.
- V(10) = 900 − 200 = 700.
- Vazio: 900 − 20t = 0 → t = 45.
Resposta: V(t) = 900 − 20t; ao fim de 10 min há 700 L; fica vazio ao fim de 45 min. A função é decrescente. Verificação: 20 × 45 = 900.
Exemplo 4 — Nível de exame: comparar dois planos
Enunciado: Dois planos fictícios de internet: o plano A custa 1 000 Kz fixos mais 100 Kz por hora, e o plano B custa 400 Kz fixos mais 200 Kz por hora. A partir de quantas horas o plano A compensa?
Resolução:
- A(x) = 1 000 + 100x e B(x) = 400 + 200x.
- Igualar: 1 000 + 100x = 400 + 200x → 600 = 100x → x = 6.
- Com x = 10: A = 2 000 e B = 2 400. Logo, para mais de 6 horas, A é mais barato.
Resposta: custam o mesmo às 6 h (1 600 Kz); a partir daí, o plano A compensa. Verificação: A(6) = 1 600 e B(6) = 400 + 1 200 = 1 600.
Erros frequentes
- Trocar a e b. Em f(x) = 5 − 2x o declive é −2 e a ordenada na origem é 5, embora o 5 apareça primeiro.
- Esquecer o sinal do declive: a reta desce quando a é negativo.
- Calcular o zero como x = b ÷ a, em vez de −b ÷ a.
- Dividir ao contrário no declive, escrevendo (x2 − x1) ÷ (y2 − y1).
- Dizer que a função afim passa sempre pela origem. Só a função linear (b = 0) o faz.
- Confundir crescente com positiva. f(x) = x − 10 é crescente mas é negativa para x menor que 10.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Para f(x) = −2x + 6, indique o zero, f(0) e a monotonia.
Ver solução
−2x + 6 = 0 → x = 3. f(0) = 6. Como a = −2 é negativo, a função é decrescente.
2Exercício 2
Determine a função afim cujo gráfico passa por (0, 4) e (2, 10).
Ver solução
b = f(0) = 4. a = (10 − 4) ÷ (2 − 0) = 3. f(x) = 3x + 4. Verificação: f(2) = 6 + 4 = 10.
3Exercício 3
Seja f(x) = 5x. Que tipo de função é? Calcule f(−3).
Ver solução
É uma função linear, porque b = 0; o gráfico passa pela origem. f(−3) = 5 × (−3) = −15.
4Exercício 4
Em f(x) = (m − 2)x + 3, para que valores de m a função é crescente, constante ou decrescente?
Ver dica
O declive é m − 2.
Ver solução
Crescente: m − 2 maior que 0, ou seja, m maior que 2. Constante: m − 2 = 0, ou seja, m = 2. Decrescente: m − 2 menor que 0, ou seja, m menor que 2.
5Exercício 5
Determine o ponto de interseção dos gráficos de f(x) = x + 5 e g(x) = 3x − 1.
Ver solução
x + 5 = 3x − 1 → 6 = 2x → x = 3. y = f(3) = 8. O ponto é (3, 8). Verificação: g(3) = 9 − 1 = 8.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre função afim e função linear?
A função linear f(x) = ax é um caso particular da afim em que b = 0, e o seu gráfico passa na origem. Nela, y é diretamente proporcional a x.
O que significa o declive na prática?
É a taxa de variação: quanto y varia por cada unidade de x. No depósito do Exemplo 3, o declive −20 diz que o volume desce 20 litros por minuto.
Como esboço o gráfico de uma função afim?
Basta dois pontos, porque o gráfico é uma reta: por exemplo, (0, b) e o zero (−b ÷ a, 0). Marque-os no referencial e una-os com uma régua.
Toda a função afim tem zero?
Não. Se a = 0 e b é diferente de 0, a função é constante e a reta nunca corta o eixo dos xx. Se a for diferente de 0, tem sempre exatamente um zero.
Resumo
- Função afim: f(x) = ax + b; o gráfico é uma reta.
- a é o declive: positivo, crescente; negativo, decrescente; nulo, constante.
- b é a ordenada na origem, f(0).
- O zero é x = −b ÷ a; o declive por dois pontos é a = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1).
- A função linear é o caso b = 0.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), capítulo sobre funções lineares.
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