Matemática · 9.ª–10.ª classe

Como resolver equações do 2.º grau?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Passos: escreva a equação na forma ax2 + bx + c = 0, calcule o discriminante Δ = b2 − 4ac e aplique x = (−b ± √Δ) ÷ (2a). Se Δ é positivo há duas soluções reais, se Δ = 0 há uma solução (dupla) e se Δ é negativo não há soluções reais.

Quando se aplica

A fórmula resolvente serve para qualquer equação do 2.º grau, isto é, qualquer equação que se possa escrever na forma geral

Forma geral e fórmula resolvente

ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 Δ = b2 − 4ac x = (−b ± √Δ) ÷ (2a)

Quando a equação é incompleta (falta o termo em x ou o termo independente) existem processos mais curtos, como a fatorização, mas a fórmula também funciona nesses casos. O número de soluções depende só do sinal de Δ:

DiscriminanteSoluções reais
Δ maior que 0duas soluções distintas
Δ = 0uma solução (raiz dupla), x = −b ÷ (2a)
Δ menor que 0nenhuma solução real

Pré-requisitos

Para resolver sem tropeçar, convém dominar: a regra dos sinais, o cálculo de raízes quadradas de números simples (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144...), o desenvolvimento de produtos como (x + 2)(x − 3) e a resolução de equações do 1.º grau.

Método passo a passo

  1. Passe tudo para o primeiro membro e arrume os termos até ficar ax2 + bx + c = 0 (o segundo membro fica igual a zero).
  2. Identifique a, b e c com o sinal. Em x2 − 5x + 6 = 0 tem-se a = 1, b = −5, c = 6.
  3. Calcule Δ = b2 − 4ac. Ponha o valor de b entre parênteses: (−5)2 = 25.
  4. Analise o sinal de Δ. Se for negativo, escreva «sem soluções reais» e termine.
  5. Aplique a fórmula: x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), calculando separadamente a soma e a diferença.
  6. Verifique substituindo cada solução na equação original.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Caso básico (a = 1)

Enunciado: Resolva x2 − 5x + 6 = 0.

Resolução:

  1. a = 1, b = −5, c = 6.
  2. Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
  3. √Δ = 1, logo x = (5 ± 1) ÷ 2.
  4. x1 = (5 + 1) ÷ 2 = 3 e x2 = (5 − 1) ÷ 2 = 2.

Resposta: x = 3 ou x = 2. Verificação: 32 − 15 + 6 = 0 e 22 − 10 + 6 = 0.

Exemplo 2 — Coeficiente a diferente de 1

Enunciado: Resolva 2x2 + 3x − 2 = 0.

Resolução:

  1. a = 2, b = 3, c = −2.
  2. Δ = 32 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25, e √Δ = 5.
  3. x = (−3 ± 5) ÷ 4.
  4. x1 = (−3 + 5) ÷ 4 = 2/4 = 1/2 e x2 = (−3 − 5) ÷ 4 = −8/4 = −2.

Resposta: x = 1/2 ou x = −2. Verificação: com x = 1/2, 2 × 1/4 + 3/2 − 2 = 0,5 + 1,5 − 2 = 0; com x = −2, 2 × 4 − 6 − 2 = 0.

Exemplo 3 — Δ = 0 e Δ negativo

Enunciado: Resolva (a) x2 − 6x + 9 = 0 e (b) x2 + 2x + 5 = 0.

Resolução:

  1. (a) Δ = 36 − 36 = 0. Há uma só solução: x = 6 ÷ 2 = 3.
  2. (b) Δ = 4 − 20 = −16. Como não existe raiz quadrada real de um número negativo, a equação não tem soluções reais.

Resposta: (a) x = 3 (raiz dupla); (b) sem soluções reais. Verificação: (a) 9 − 18 + 9 = 0; (b) o valor de x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 é sempre maior ou igual a 4, nunca zero.

Exemplo 4 — Nível de exame: arrumar antes de resolver

Enunciado: Resolva (x + 2)2 = 3x + 10.

Resolução:

  1. Desenvolva o quadrado: x2 + 4x + 4 = 3x + 10.
  2. Passe tudo para a esquerda: x2 + 4x − 3x + 4 − 10 = 0, ou seja, x2 + x − 6 = 0.
  3. a = 1, b = 1, c = −6, Δ = 1 + 24 = 25.
  4. x = (−1 ± 5) ÷ 2, logo x1 = 2 e x2 = −3.

Resposta: x = 2 ou x = −3. Verificação: com x = 2, 42 = 16 e 3 × 2 + 10 = 16; com x = −3, (−1)2 = 1 e −9 + 10 = 1.

Erros frequentes

  • Resolver sem ter o segundo membro igual a zero. A fórmula só vale para ax2 + bx + c = 0; arrume primeiro a equação.
  • Perder o sinal de b ou de c. Escreva a, b e c numa linha, com sinais, antes de calcular.
  • Calcular (−5)2 como −25. Um número negativo ao quadrado é positivo; use parênteses.
  • Dividir só uma parte por 2a. O denominador 2a divide todo o numerador (−b ± √Δ).
  • Esquecer o «±» e dar uma só solução quando Δ é positivo.
  • Não verificar. Substituir as soluções na equação original apanha quase todos os erros de cálculo.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Resolva x2 − 7x + 10 = 0.

Ver solução

a = 1, b = −7, c = 10. Δ = 49 − 40 = 9, √Δ = 3. x = (7 ± 3) ÷ 2, logo x = 5 ou x = 2. Verificação: 25 − 35 + 10 = 0 e 4 − 14 + 10 = 0.

2Exercício 2

Resolva x2 + 4x + 4 = 0.

Ver dica

Calcule o discriminante e repare no resultado.

Ver solução

Δ = 16 − 16 = 0, por isso há uma só solução: x = −4 ÷ 2 = −2. Verificação: 4 − 8 + 4 = 0.

3Exercício 3

Resolva 3x2 − x − 2 = 0.

Ver solução

a = 3, b = −1, c = −2. Δ = 1 + 24 = 25. x = (1 ± 5) ÷ 6, logo x = 1 ou x = −2/3. Verificação: 3 − 1 − 2 = 0; com x = −2/3, 3 × 4/9 + 2/3 − 2 = 4/3 + 2/3 − 2 = 0.

4Exercício 4

Resolva x2 + 3x + 4 = 0.

Ver solução

Δ = 9 − 16 = −7. Como Δ é negativo, a equação não tem soluções reais.

5Exercício 5

Resolva (x − 1)(x + 4) = 2x + 8.

Ver dica

Desenvolva o produto e passe tudo para um dos lados.

Ver solução

(x − 1)(x + 4) = x2 + 3x − 4. Então x2 + 3x − 4 = 2x + 8, ou seja, x2 + x − 12 = 0. Δ = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) ÷ 2, logo x = 3 ou x = −4. Verificação: com x = 3, 2 × 7 = 14 e 6 + 8 = 14; com x = −4, (−5) × 0 = 0 e −8 + 8 = 0.

Perguntas frequentes

Quando devo usar a fórmula resolvente e não a fatorização?

Use a fórmula quando os coeficientes não permitem ver facilmente dois números com a soma e o produto certos, ou quando precisar de um método que funcione sempre. Se a equação for incompleta ou tiver raízes inteiras evidentes, a fatorização é mais rápida.

O que significa Δ ser negativo?

Significa que a parábola associada, y = ax2 + bx + c, não corta o eixo dos xx, e por isso a equação não tem soluções no conjunto dos números reais. Não é um erro: é uma resposta válida.

Posso simplificar a equação antes de aplicar a fórmula?

Pode e deve, se todos os coeficientes tiverem um fator comum. Por exemplo, 4x2 − 8x − 12 = 0 divide-se por 4 e fica x2 − 2x − 3 = 0, com Δ = 16 e soluções 3 e −1.

Existe uma forma de confirmar as soluções sem substituir?

Existe: a soma das soluções é −b ÷ a e o produto é c ÷ a. No Exemplo 1, 3 + 2 = 5 e 3 × 2 = 6, valores que coincidem com −(−5) ÷ 1 e 6 ÷ 1.

Resumo

  • Toda a equação do 2.º grau se escreve ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.
  • Δ = b2 − 4ac decide o número de soluções reais: duas, uma ou nenhuma.
  • A fórmula é x = (−b ± √Δ) ÷ (2a); o «±» dá as duas soluções.
  • Cuide dos sinais de a, b e c e use parênteses nos quadrados de números negativos.
  • Verifique sempre substituindo na equação original.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), no capítulo sobre equações quadráticas.
  • Os exercícios do manual escolar adotado, começando pelos de nível básico.

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