Matemática · 9.ª–10.ª classe
O que é uma equação do 2.º grau?
Resposta curta
Equação do 2.º grau é toda a equação que se pode escrever na forma ax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0. O «2.º grau» vem do maior expoente da incógnita ser 2. Pode ter duas soluções reais diferentes, uma solução dupla ou nenhuma solução real.
Definição e características
Numa equação do 2.º grau a incógnita (geralmente x) aparece elevada ao quadrado, e não aparece com expoente maior. A forma geral, chamada forma canónica, é:
Forma canónica
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Os números a, b e c são os coeficientes:
- a é o coeficiente de x2 (nunca pode ser zero);
- b é o coeficiente de x;
- c é o termo independente (não tem x).
Se a fosse 0, o termo em x2 desaparecia e a equação passava a ser do 1.º grau. Por isso se exige a ≠ 0.
Equações completas e incompletas
Quando b e c são ambos diferentes de zero, a equação é completa. Quando b = 0 ou c = 0, é incompleta:
| Tipo | Forma | Exemplo |
|---|---|---|
| Completa | ax2 + bx + c = 0 | x2 − 5x + 6 = 0 |
| Incompleta (b = 0) | ax2 + c = 0 | 2x2 − 8 = 0 |
| Incompleta (c = 0) | ax2 + bx = 0 | 3x2 + 6x = 0 |
| Incompleta (b = 0 e c = 0) | ax2 = 0 | 5x2 = 0 |
Raízes (soluções)
Os valores de x que tornam verdadeira a igualdade chamam-se raízes ou soluções. Por exemplo, 2 é raiz de x2 − 5x + 6 = 0 porque 4 − 10 + 6 = 0; 3 também é raiz, pois 9 − 15 + 6 = 0. Uma equação do 2.º grau tem, no máximo, duas raízes reais.
Como saber quantas raízes tem
O número de raízes depende do discriminante Δ = b2 − 4ac:
- Δ > 0: duas raízes reais diferentes;
- Δ = 0: uma raiz (dupla);
- Δ < 0: nenhuma raiz real.
O método para as calcular está explicado no artigo sobre como resolver equações do 2.º grau; aqui o objetivo é reconhecer e identificar a equação.
Onde aparece no quotidiano
As equações do 2.º grau surgem sempre que há uma grandeza que depende do produto de duas medidas ligadas entre si. O caso típico é a área. Imagine uma sala retangular em que o comprimento excede em 3 m a largura, e a área é 40 m2. Chamando x à largura, o comprimento é x + 3 e a área é x(x + 3) = 40. Desenvolvendo: x2 + 3x − 40 = 0, uma equação do 2.º grau com a = 1, b = 3 e c = −40. A largura é 5 m e o comprimento 8 m: 5 × 8 = 40.
Também aparecem na Física (movimento com aceleração constante), na Economia (lucro em função do preço) e na construção, sempre que se relacionam áreas ou produtos de medidas.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Identificar coeficientes
Enunciado: Indique a, b e c e diga se a equação é completa ou incompleta: (A) x2 − 5x + 6 = 0; (B) 2x2 − 8 = 0; (C) 3x2 + 6x = 0.
Resolução:
- (A) Todos os termos existem: a = 1, b = −5, c = 6. É completa. O sinal faz parte do coeficiente: b é −5, não 5.
- (B) Falta o termo em x: a = 2, b = 0, c = −8. É incompleta.
- (C) Falta o termo independente: a = 3, b = 6, c = 0. É incompleta.
Resposta: (A) 1, −5, 6; (B) 2, 0, −8; (C) 3, 6, 0. Verificação: reescreva cada equação com os coeficientes encontrados e confirme que obtém a original.
Exemplo 2 — Pôr na forma canónica
Enunciado: Escreva x(x + 3) = 10 na forma ax2 + bx + c = 0.
Resolução:
- Desenvolve-se o produto: x2 + 3x = 10.
- Passa-se o 10 para o primeiro membro (subtraindo 10 aos dois lados): x2 + 3x − 10 = 0.
Resposta: a = 1, b = 3, c = −10. Verificação: x = 2 é raiz, pois 4 + 6 − 10 = 0, e também 2 × 5 = 10 na forma inicial.
Exemplo 3 — Equação que parece do 2.º grau
Enunciado: A equação (x + 1)2 = x2 + 5 é do 2.º grau?
Resolução:
- Desenvolve-se (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
- Fica x2 + 2x + 1 = x2 + 5.
- Subtrai-se x2 aos dois membros: 2x + 1 = 5, ou seja, 2x = 4 e x = 2.
Resposta: não. Os termos em x2 cancelam-se e resta uma equação do 1.º grau. Só se vê o grau depois de simplificar. Verificação: 32 = 9 e 22 + 5 = 9.
Exemplo 4 — Verificar se um número é raiz
Enunciado: Verifique se 4 e −1 são raízes de x2 − 3x − 4 = 0.
Resolução:
- Para x = 4: 16 − 12 − 4 = 0. Verdadeiro.
- Para x = −1: (−1)2 − 3 × (−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0. Verdadeiro.
Resposta: ambos são raízes. Verificação: a soma das raízes é 4 + (−1) = 3 = −b/a e o produto é −4 = c/a.
Erros e confusões frequentes
- Esquecer a condição a ≠ 0. Sem ela, a equação deixa de ser do 2.º grau. Se um problema tiver um parâmetro k em a, exclua o valor que o anula.
- Ler mal o sinal de b e de c. Em x2 − 5x + 6 = 0, b é −5. Os coeficientes incluem o sinal.
- Não pôr na forma canónica antes de identificar a, b e c. Em x2 = 2x + 3 o membro direito não é zero: a equação equivale a x2 − 2x − 3 = 0.
- Achar que x2 + 5 = 0 não é equação do 2.º grau por faltar o termo em x. É incompleta, mas é do 2.º grau.
- Confundir equação com função. A equação pede os valores de x que dão zero; a função quadrática descreve como y varia com x.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Indique a, b e c em 2x2 = 3x + 5.
Ver dica
Passe tudo para um dos membros para que o outro seja zero.
Ver solução
2x2 − 3x − 5 = 0, logo a = 2, b = −3, c = −5. Verificação: x = −1 é raiz, pois 2 + 3 − 5 = 0.
2Exercício 2
Diga quais destas equações são do 2.º grau: (a) x + 5 = 0; (b) x2 − 9 = 0; (c) 3x2 + x = 0; (d) x3 − x = 0.
Ver solução
(b) e (c). A (a) é do 1.º grau e a (d) é do 3.º grau. A (b) é incompleta com b = 0 e a (c) é incompleta com c = 0.
3Exercício 3
Escreva (x − 1)(x + 2) = 4 na forma canónica e indique a, b e c.
Ver solução
(x − 1)(x + 2) = x2 + 2x − x − 2 = x2 + x − 2. Então x2 + x − 2 = 4, ou seja, x2 + x − 6 = 0. Logo a = 1, b = 1, c = −6.
4Exercício 4
Para que valores de k a equação (k − 2)x2 + 3x − 1 = 0 é do 2.º grau?
Ver solução
O coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero: k − 2 ≠ 0, logo k ≠ 2. Se k = 2, a equação reduz-se a 3x − 1 = 0, do 1.º grau.
5Exercício 5
Um terreno retangular tem comprimento igual ao dobro da largura x e área 50 m2. Escreva a equação na forma canónica.
Ver solução
Área = x × 2x = 2x2 = 50, logo 2x2 − 50 = 0 (a = 2, b = 0, c = −50). É incompleta e dá x = 5 m (a largura não pode ser −5).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre equação do 2.º grau e função quadrática?
A equação do 2.º grau é uma igualdade com incógnita, ax2 + bx + c = 0, cujas soluções são números. A função quadrática, f(x) = ax2 + bx + c, é uma regra que a cada x associa um valor; as soluções da equação são os zeros dessa função.
Onde se aplica na prática?
Em problemas de áreas e dimensões, em trajetórias de projéteis e em cálculos de lucro ou custo máximo. Sempre que duas medidas dependentes se multiplicam, é provável que surja uma equação do 2.º grau.
Que erros os estudantes cometem sobre este tema?
Os mais frequentes são ignorar o sinal dos coeficientes, não pôr a equação na forma canónica e esquecer que a não pode ser zero. Veja a secção «Erros e confusões frequentes».
Uma equação do 2.º grau tem sempre duas soluções?
Não. Pode ter duas reais diferentes, uma dupla ou nenhuma no conjunto dos números reais. Quem decide é o sinal do discriminante Δ = b2 − 4ac.
Resumo
- Equação do 2.º grau: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.
- a, b e c são os coeficientes; c é o termo independente; os sinais fazem parte deles.
- É completa se b ≠ 0 e c ≠ 0; é incompleta se b = 0 ou c = 0.
- Tem no máximo duas raízes reais; o discriminante Δ = b2 − 4ac indica quantas.
- Antes de identificar a, b e c, desenvolva e passe todos os termos para o mesmo membro.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da 9.ª e da 10.ª classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- A Khan Academy (secção de equações quadráticas, com tradução em português) para explicações em vídeo e exercícios.
- Os manuais abertos da OpenStax de Álgebra (em inglês), para consolidar a terminologia.
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