Matemática · 9.ª–10.ª classe

Como resolver problemas com equações do 2.º grau?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Passos: escolha a incógnita x e diga o que representa; traduza o enunciado numa equação; passe-a à forma ax2 + bx + c = 0 e resolva; rejeite as soluções que não fazem sentido (por exemplo, comprimentos negativos); verifique no texto do problema e responda por extenso, com a unidade.

Quando se aplica

Recorre-se a uma equação do 2.º grau quando a grandeza desconhecida aparece multiplicada por outra que depende dela. Os casos típicos são:

  • áreas de retângulos, triângulos e quadrados, em que se multiplicam dois comprimentos;
  • produto ou soma de quadrados de números com uma relação entre si (consecutivos, um é o dobro do outro);
  • divisão de uma quantia ou de uma tarefa por um número de pessoas desconhecido, quando a variação do número de pessoas altera o valor de cada parte;
  • movimentos descritos por uma fórmula quadrática, como a altura de um objeto lançado ao ar.

Pré-requisitos

Convém dominar a fórmula resolvente x = (−b ± √Δ) ÷ (2a) com Δ = b2 − 4ac, o desenvolvimento de produtos como x(x + 5) e a resolução de equações com frações simples.

Método passo a passo

  1. Leia duas vezes e sublinhe o que se pede e os dados numéricos.
  2. Defina a incógnita com uma frase: «Seja x a largura, em metros». Escreva as outras grandezas em função de x.
  3. Escreva a equação que traduz a relação entre os dados (área = 150, produto = 56, etc.).
  4. Arrume para a forma ax2 + bx + c = 0 e resolva (fórmula resolvente ou processo próprio).
  5. Discuta as soluções: comprimentos, idades e quantidades de pessoas têm de ser positivos (e, quando for o caso, inteiros).
  6. Verifique no enunciado, não só na equação: a equação pode estar mal escrita e ainda assim ter soluções certas para ela.
  7. Responda por extenso, com unidade.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Números consecutivos

Enunciado: O produto de dois números naturais consecutivos é 56. Quais são?

Resolução:

  1. Sejam x e x + 1 os números. Então x(x + 1) = 56.
  2. x2 + x − 56 = 0, com Δ = 1 + 224 = 225, √Δ = 15.
  3. x = (−1 ± 15) ÷ 2, logo x = 7 ou x = −8.
  4. Os números são naturais, por isso rejeita-se −8.

Resposta: os números são 7 e 8. Verificação: 7 × 8 = 56.

Exemplo 2 — Perímetro e área de um retângulo

Enunciado: Um retângulo tem perímetro 28 m e área 48 m2. Determine as suas dimensões.

Resolução:

  1. O semiperímetro é 28 ÷ 2 = 14. Se um lado mede x, o outro mede 14 − x.
  2. x(14 − x) = 48, ou seja, −x2 + 14x − 48 = 0, que é o mesmo que x2 − 14x + 48 = 0.
  3. Δ = 196 − 192 = 4, logo x = (14 ± 2) ÷ 2, isto é, x = 8 ou x = 6.
  4. Se x = 8 o outro lado é 6; se x = 6 o outro lado é 8. É o mesmo retângulo.

Resposta: as dimensões são 8 m e 6 m. Verificação: 2 × (8 + 6) = 28 e 8 × 6 = 48.

Exemplo 3 — Terreno com um lado maior do que o outro

Enunciado: Num terreno retangular de 150 m2, o comprimento excede a largura em 5 m. Calcule as dimensões.

Resolução:

  1. Seja x a largura, em metros; o comprimento é x + 5.
  2. x(x + 5) = 150, logo x2 + 5x − 150 = 0.
  3. Δ = 25 + 600 = 625, √Δ = 25, e x = (−5 ± 25) ÷ 2, ou seja, x = 10 ou x = −15.
  4. Uma largura não pode ser negativa; fica x = 10.

Resposta: largura 10 m e comprimento 15 m. Verificação: 15 − 10 = 5 e 10 × 15 = 150.

Exemplo 4 — Nível de exame: divisão de uma despesa

Enunciado: Um grupo de amigos alugou um táxi-coletivo por 6 000 Kz, dividindo o valor em partes iguais. Se o grupo tivesse mais 2 pessoas, cada uma pagaria menos 500 Kz. Quantas pessoas há no grupo?

Resolução:

  1. Seja x o número de pessoas. Cada uma paga 6 000 ÷ x; com x + 2 pessoas, pagaria 6 000 ÷ (x + 2).
  2. A diferença é 500: 6 000/x − 6 000/(x + 2) = 500.
  3. Multiplique por x(x + 2): 6 000(x + 2) − 6 000x = 500x(x + 2), isto é, 12 000 = 500x2 + 1 000x.
  4. Divida por 500: x2 + 2x − 24 = 0. Δ = 4 + 96 = 100, logo x = (−2 ± 10) ÷ 2, ou seja, x = 4 ou x = −6.
  5. O número de pessoas é positivo: x = 4.

Resposta: o grupo tem 4 pessoas. Verificação: 6 000 ÷ 4 = 1 500 Kz cada; com 6 pessoas, 6 000 ÷ 6 = 1 000 Kz; a diferença é 500 Kz.

Erros frequentes

  • Não definir a incógnita e perder-se entre letras. Escreva sempre «Seja x ...».
  • Escrever mal a expressão do outro lado: «excede em 5» significa x + 5, não 5x.
  • Aceitar soluções impossíveis, como largura −15 m ou −6 pessoas. A discussão das soluções faz parte da resolução.
  • Verificar apenas na equação. Se a equação estiver errada, a verificação não deteta o erro; substitua no enunciado.
  • Esquecer a unidade ou a resposta por extenso.
  • Misturar unidades, como metros com centímetros, na mesma equação.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

O produto de dois números naturais consecutivos é 90. Determine-os.

Ver solução

x(x + 1) = 90, logo x2 + x − 90 = 0. Δ = 1 + 360 = 361, √Δ = 19, x = (−1 ± 19) ÷ 2, isto é, x = 9 ou x = −10. Rejeita-se −10. Os números são 9 e 10. Verificação: 9 × 10 = 90.

2Exercício 2

A soma do quadrado de um número com o dobro desse número é 35. Qual é o número?

Ver dica

Escreva x2 + 2x = 35.

Ver solução

x2 + 2x − 35 = 0, Δ = 4 + 140 = 144, x = (−2 ± 12) ÷ 2, logo x = 5 ou x = −7. Ambos servem, pois o enunciado não impõe sinal. Verificação: 25 + 10 = 35 e 49 − 14 = 35.

3Exercício 3

Um retângulo tem perímetro 34 m e área 60 m2. Calcule os lados.

Ver solução

Semiperímetro 17; lados x e 17 − x. x(17 − x) = 60, logo x2 − 17x + 60 = 0. Δ = 289 − 240 = 49, x = (17 ± 7) ÷ 2, isto é, 12 ou 5. Os lados medem 12 m e 5 m. Verificação: 2 × 17 = 34 e 12 × 5 = 60.

4Exercício 4

A base de um triângulo excede a altura em 4 cm e a área é 30 cm2. Determine a base e a altura.

Ver dica

Área do triângulo = base × altura ÷ 2.

Ver solução

Seja x a altura; a base é x + 4. x(x + 4) ÷ 2 = 30, logo x2 + 4x − 60 = 0. Δ = 16 + 240 = 256, x = (−4 ± 16) ÷ 2, isto é, 6 ou −10. Rejeita-se −10. Altura 6 cm, base 10 cm. Verificação: 10 × 6 ÷ 2 = 30.

5Exercício 5

Uma turma pagou 4 800 Kz por um passeio, dividindo em partes iguais. Se fossem mais 2 alunos, cada um pagaria menos 200 Kz. Quantos alunos há na turma?

Ver solução

4 800/x − 4 800/(x + 2) = 200. Multiplicando por x(x + 2): 9 600 = 200x2 + 400x, e dividindo por 200: x2 + 2x − 48 = 0. Δ = 4 + 192 = 196, x = (−2 ± 14) ÷ 2, isto é, 6 ou −8. Há 6 alunos. Verificação: 4 800 ÷ 6 = 800 Kz; com 8 alunos, 600 Kz; a diferença é 200 Kz.

Perguntas frequentes

Como sei que o problema leva a uma equação do 2.º grau?

Procure um produto de duas quantidades que dependem da incógnita (área, produto de consecutivos) ou um quadrado da incógnita. Se, ao desenvolver, aparecer x2, é do 2.º grau.

O que faço se as duas soluções forem positivas?

Verifique ambas no enunciado. Às vezes servem as duas, como no Exercício 2; outras vezes uma delas contradiz um dado, por exemplo uma condição «maior do que» ou «inteiro».

Porque é que se multiplica por x(x + 2) nos problemas de divisão?

Para eliminar os denominadores. Multiplicar ambos os membros pelo mesmo número não nulo mantém a equação equivalente, e fica uma equação polinomial.

Posso resolver por tentativas?

Para números pequenos pode ajudar a perceber o problema, mas não garante que encontre todas as soluções. O método algébrico é seguro e é o que se pede nos exames.

Resumo

  • Defina a incógnita e escreva as outras grandezas à custa dela.
  • Traduza o enunciado numa equação e leve-a à forma ax2 + bx + c = 0.
  • Resolva com a fórmula resolvente ou com o processo adequado.
  • Rejeite soluções impossíveis e verifique no enunciado.
  • Responda com uma frase completa e a unidade.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), secção de aplicações das equações quadráticas.

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