Matemática · 9.ª–10.ª classe
Exercícios resolvidos de equações do 2.º grau
Resposta curta
Para treinar equações do 2.º grau, resolva por ordem de dificuldade: primeiro as incompletas, depois a fórmula resolvente com Δ = b2 − 4ac, depois equações que exigem arrumação prévia, frações ou parâmetros. Em cada exercício verifique as soluções na equação inicial. Aqui encontra nove exercícios resolvidos e cinco propostos.
Resumo da teoria necessária
Uma equação do 2.º grau escreve-se ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Ferramentas para a resolver:
Ferramentas
Fórmula resolvente: x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), com Δ = b2 − 4ac Δ maior que 0: duas soluções; Δ = 0: uma; Δ menor que 0: nenhuma real Soma das soluções = −b ÷ a; produto das soluções = c ÷ a Incompletas: ax2 + c = 0 (isolar x2); ax2 + bx = 0 (pôr x em evidência)
Estratégia de resolução
- Arrume a equação até ter o segundo membro igual a zero.
- Veja se é incompleta; se for, use o processo curto.
- Caso contrário, identifique a, b, c com sinais e calcule Δ.
- Verifique as soluções na equação original.
Exercícios resolvidos (nível básico)
Exercício 1 — Equação completa
Enunciado: Resolva x2 − 9x + 20 = 0.
Resolução: a = 1, b = −9, c = 20. Δ = 81 − 80 = 1. x = (9 ± 1) ÷ 2, logo x = 5 ou x = 4.
Resposta: x = 5 ou x = 4. Verificação: 25 − 45 + 20 = 0 e 16 − 36 + 20 = 0; soma 9 e produto 20, como −b ÷ a e c ÷ a.
Exercício 2 — Sem termo em x
Enunciado: Resolva x2 − 49 = 0.
Resolução: x2 = 49, logo x = ±7.
Resposta: x = 7 ou x = −7. Verificação: 49 − 49 = 0 nos dois casos.
Exercício 3 — Sem termo independente
Enunciado: Resolva 4x2 − 20x = 0.
Resolução: 4x(x − 5) = 0, logo x = 0 ou x − 5 = 0.
Resposta: x = 0 ou x = 5. Verificação: 4 × 25 − 100 = 0.
Exercícios resolvidos (nível intermédio)
Exercício 4 — Coeficiente a diferente de 1
Enunciado: Resolva 2x2 − 7x + 3 = 0.
Resolução: a = 2, b = −7, c = 3. Δ = 49 − 24 = 25, √Δ = 5. x = (7 ± 5) ÷ 4, logo x = 12/4 = 3 ou x = 2/4 = 1/2.
Resposta: x = 3 ou x = 1/2. Verificação: 2 × 9 − 21 + 3 = 0 e 2 × 1/4 − 7/2 + 3 = 0,5 − 3,5 + 3 = 0.
Exercício 5 — Arrumar antes de resolver
Enunciado: Resolva x(x + 3) = 10.
Resolução: x2 + 3x − 10 = 0. Δ = 9 + 40 = 49, √Δ = 7. x = (−3 ± 7) ÷ 2, logo x = 2 ou x = −5.
Resposta: x = 2 ou x = −5. Verificação: 2 × 5 = 10 e (−5) × (−2) = 10.
Exercício 6 — Equação com frações
Enunciado: Resolva 1/x + 1/(x + 1) = 5/6, com x diferente de 0 e de −1.
Resolução:
- Multiplique tudo por 6x(x + 1): 6(x + 1) + 6x = 5x(x + 1).
- 12x + 6 = 5x2 + 5x, logo 5x2 − 7x − 6 = 0.
- Δ = 49 + 120 = 169, √Δ = 13. x = (7 ± 13) ÷ 10, isto é, x = 2 ou x = −6/10 = −3/5.
Resposta: x = 2 ou x = −3/5. Verificação: com x = 2, 1/2 + 1/3 = 5/6; com x = −3/5, −5/3 + 5/2 = −10/6 + 15/6 = 5/6. Nenhuma solução anula os denominadores.
Exercícios de exame
Exercício 7 — Equação com parâmetro
Enunciado: Determine k para que a equação x2 − 6x + k = 0 tenha uma única solução.
Resolução: Uma só solução exige Δ = 0. Δ = 36 − 4k = 0, logo k = 9.
Resposta: k = 9. Verificação: x2 − 6x + 9 = (x − 3)2, cuja única solução é x = 3.
Exercício 8 — Uma raiz conhecida
Enunciado: Sabendo que 2 é solução de x2 − 5x + k = 0, determine k e a outra solução.
Resolução:
- Substitua x = 2: 4 − 10 + k = 0, logo k = 6.
- A soma das soluções é 5; se uma é 2, a outra é 3.
Resposta: k = 6 e a outra solução é 3. Verificação: 9 − 15 + 6 = 0 e produto 2 × 3 = 6 = c.
Exercício 9 — Problema de áreas
Enunciado: O comprimento de um retângulo excede a largura em 3 cm e a área é 40 cm2. Quais são as dimensões?
Resolução: Seja x a largura. x(x + 3) = 40, logo x2 + 3x − 40 = 0. Δ = 9 + 160 = 169, x = (−3 ± 13) ÷ 2, isto é, 5 ou −8. A largura é positiva: x = 5.
Resposta: largura 5 cm e comprimento 8 cm. Verificação: 8 − 5 = 3 e 5 × 8 = 40.
Erros frequentes
- Resolver antes de arrumar, tratando x(x + 3) = 10 como se um fator tivesse de ser 10.
- Dividir por x numa equação sem termo independente e perder a solução nula.
- Errar o sinal de −4ac quando c é negativo: com c = −6, o termo vale +24.
- Esquecer o «±» ao extrair a raiz de x2 = 49.
- Em equações com frações, aceitar uma solução que anula um denominador.
- Em problemas, não rejeitar soluções negativas para comprimentos.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva x2 − 3x − 10 = 0.
Ver solução
Δ = 9 + 40 = 49, x = (3 ± 7) ÷ 2, logo x = 5 ou x = −2. Verificação: 25 − 15 − 10 = 0 e 4 + 6 − 10 = 0.
2Exercício 2
Resolva 9x2 − 1 = 0.
Ver solução
9x2 = 1, x2 = 1/9, x = 1/3 ou x = −1/3. Verificação: 9 × 1/9 − 1 = 0.
3Exercício 3
Resolva x(x − 8) = −16.
Ver dica
Passe o −16 para o primeiro membro.
Ver solução
x2 − 8x + 16 = 0, Δ = 64 − 64 = 0, logo x = 4 (raiz dupla). Verificação: 4 × (−4) = −16.
4Exercício 4
Resolva x2 + 6x + 10 = 0.
Ver solução
Δ = 36 − 40 = −4, negativo. Não tem soluções reais.
5Exercício 5
Para que valores de k a equação x2 + kx + 4 = 0 tem uma só solução?
Ver dica
Δ = 0.
Ver solução
Δ = k2 − 16 = 0, logo k2 = 16 e k = 4 ou k = −4. Verificação: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 e x2 − 4x + 4 = (x − 2)2.
Perguntas frequentes
Como estudar este tema com exercícios?
Resolva primeiro sem consultar a resolução, depois compare passo a passo. Faça uma lista dos exercícios em que errou e volte a resolvê-los dois dias depois. Misture tipos diferentes, em vez de repetir sempre o mesmo.
Que tipo de exercícios saem nos exames?
Costumam surgir equações completas com a diferente de 1, equações que precisam de arrumação, problemas de geometria ou de números e questões sobre o discriminante. A estrutura varia de ano para ano; confirme com o programa e com provas anteriores da sua escola.
Posso usar a calculadora?
Depende das regras da prova. Mesmo quando permitida, calcule Δ à mão: é a parte onde mais se erram os sinais e é um passo que se pede explicitamente.
Onde posso rever a teoria?
Na explicação sobre como resolver equações do 2.º grau, neste guia, e no manual da sua classe. Reveja também as equações incompletas, que poupam muito tempo.
Resumo
- Arrume sempre a equação para ax2 + bx + c = 0.
- Use o processo curto nas incompletas e a fórmula resolvente nas completas.
- Δ decide: duas, uma ou nenhuma solução real.
- Com parâmetros, use a condição sobre Δ ou a soma e o produto das soluções.
- Em frações e problemas, descarte soluções impossíveis e verifique.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), com muitos exercícios de equações quadráticas.
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Quais são os erros mais comuns em equações do 2.º grau?
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