Matemática · 9.ª–10.ª classe

Como resolver equações incompletas do 2.º grau?

  • 7 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Uma equação incompleta do 2.º grau tem b = 0 ou c = 0. Se for ax2 + c = 0, isole x2 e extraia a raiz quadrada (duas soluções simétricas, se existirem). Se for ax2 + bx = 0, ponha x em evidência: x(ax + b) = 0, e as soluções são x = 0 e x = −b ÷ a.

Quando se aplica

Uma equação do 2.º grau tem a forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Diz-se incompleta quando falta um dos termos:

TipoFormaProcesso
Sem termo em x (b = 0)ax2 + c = 0isolar x2 e extrair a raiz
Sem termo independente (c = 0)ax2 + bx = 0pôr x em evidência
Sem ambos (b = c = 0)ax2 = 0x = 0

Estes casos não precisam da fórmula resolvente. Resolvê-los com o processo próprio é mais rápido e há menos hipóteses de erro de cálculo.

Pré-requisitos

Precisa de saber resolver equações do 1.º grau, calcular raízes quadradas de quadrados perfeitos e aplicar a lei do anulamento do produto: se A × B = 0, então A = 0 ou B = 0.

Método passo a passo

Caso 1: ax2 + c = 0 (b = 0)

  1. Passe c para o segundo membro: ax2 = −c.
  2. Divida por a: x2 = −c ÷ a.
  3. Analise o sinal do segundo membro. Se for positivo, x = ±√(−c ÷ a). Se for negativo, não há soluções reais, porque nenhum número real elevado ao quadrado dá um resultado negativo.

Caso 2: ax2 + bx = 0 (c = 0)

  1. Ponha x em evidência: x(ax + b) = 0.
  2. Aplique o anulamento do produto: x = 0 ou ax + b = 0.
  3. Resolva a segunda: x = −b ÷ a.
  4. Escreva as duas soluções. A solução x = 0 existe sempre neste caso.

Atenção

Nunca divida os dois membros por x em ax2 + bx = 0: perde a solução x = 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Sem termo em x

Enunciado: Resolva x2 − 16 = 0.

Resolução:

  1. Isole x2: x2 = 16.
  2. Extraia a raiz: x = ±√16 = ±4.

Resposta: x = 4 ou x = −4. Verificação: 42 − 16 = 0 e (−4)2 − 16 = 0.

Exemplo 2 — Com coeficiente a diferente de 1

Enunciado: Resolva 3x2 − 12 = 0 e depois x2 + 9 = 0.

Resolução:

  1. 3x2 = 12, logo x2 = 4 e x = ±2.
  2. x2 + 9 = 0 dá x2 = −9. Um quadrado nunca é negativo.

Resposta: 3x2 − 12 = 0 tem x = 2 ou x = −2; x2 + 9 = 0 não tem soluções reais. Verificação: 3 × 4 − 12 = 0; e x2 + 9 é sempre maior ou igual a 9.

Exemplo 3 — Sem termo independente

Enunciado: Resolva x2 − 7x = 0 e 5x2 = 20x.

Resolução:

  1. x2 − 7x = 0 → x(x − 7) = 0 → x = 0 ou x = 7.
  2. 5x2 = 20x → 5x2 − 20x = 0 → 5x(x − 4) = 0 → x = 0 ou x = 4.

Resposta: primeira equação, x = 0 ou x = 7; segunda, x = 0 ou x = 4. Verificação: 72 − 7 × 7 = 49 − 49 = 0; 5 × 16 = 80 = 20 × 4.

Exemplo 4 — Nível de exame: a equação só fica incompleta depois de arrumada

Enunciado: Resolva (x + 2)2 = 4x + 13.

Resolução:

  1. Desenvolva: x2 + 4x + 4 = 4x + 13.
  2. Passe tudo para a esquerda: x2 + 4x − 4x + 4 − 13 = 0, ou seja, x2 − 9 = 0.
  3. Os termos em x anulam-se; x2 = 9, logo x = ±3.

Resposta: x = 3 ou x = −3. Verificação: com x = 3, 52 = 25 e 12 + 13 = 25; com x = −3, (−1)2 = 1 e −12 + 13 = 1.

Erros frequentes

  • Esquecer a solução negativa em x2 = 16 e escrever só x = 4. A raiz quadrada de 16 é 4, mas a equação tem duas soluções, 4 e −4.
  • Dividir por x em ax2 + bx = 0 e perder x = 0.
  • Concluir que x2 = −9 dá x = −3. Não dá: o quadrado de qualquer real é maior ou igual a zero.
  • Passar c para o outro lado sem trocar o sinal, escrevendo x2 = −16 em vez de x2 = 16 em x2 − 16 = 0.
  • Extrair a raiz antes de isolar x2, o que dá resultados como 3x = ±12.
  • Aplicar o anulamento do produto quando o produto não é zero, por exemplo x(x − 7) = 5.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Resolva x2 − 25 = 0.

Ver solução

x2 = 25, logo x = 5 ou x = −5. Verificação: 25 − 25 = 0 para ambos.

2Exercício 2

Resolva 4x2 − 36 = 0.

Ver solução

4x2 = 36, x2 = 9, x = 3 ou x = −3. Verificação: 4 × 9 − 36 = 0.

3Exercício 3

Resolva x2 + 5x = 0.

Ver solução

x(x + 5) = 0, logo x = 0 ou x = −5. Verificação: (−5)2 + 5 × (−5) = 25 − 25 = 0.

4Exercício 4

Resolva 2x2 + 8 = 0.

Ver dica

Isole x2 e observe o sinal.

Ver solução

2x2 = −8, x2 = −4. Nenhum número real tem quadrado negativo, por isso não há soluções reais.

5Exercício 5

Resolva 6x2 − 9x = 0 e, depois, calcule a área de um terreno quadrado de 81 m2 para dar o comprimento do lado.

Ver solução

Primeira parte: 3x(2x − 3) = 0, logo x = 0 ou 2x = 3, isto é, x = 0 ou x = 3/2. Verificação: 6 × 9/4 − 9 × 3/2 = 13,5 − 13,5 = 0. Segunda parte: l2 = 81, l = ±9; como um comprimento é positivo, o lado mede 9 m.

Perguntas frequentes

Porque é que ax2 + bx = 0 tem sempre a solução x = 0?

Porque x é fator comum, e quando x = 0 o produto x(ax + b) é nulo. É a mesma razão pela qual, em x2 − 7x = 0, substituir x por 0 dá 0 − 0 = 0.

Posso usar a fórmula resolvente nestas equações?

Pode, e dá o mesmo resultado. Em x2 − 16 = 0, com a = 1, b = 0 e c = −16, tem-se Δ = 64 e x = (0 ± 8) ÷ 2 = ±4. Mas o processo curto demora menos.

O que fazer quando x2 é igual a um número negativo?

Escreva «sem soluções reais» (ou «equação impossível em R»). Só no estudo posterior dos números complexos essa equação passa a ter solução.

Como sei qual dos dois processos aplicar?

Olhe para o que falta. Se não há termo em x, isole x2; se não há termo independente, ponha x em evidência. Se faltam os dois, a única solução é x = 0.

Resumo

  • Equação incompleta: falta o termo em x (b = 0) ou o termo independente (c = 0).
  • ax2 + c = 0: isole x2; com segundo membro positivo há duas soluções simétricas, com negativo não há soluções reais.
  • ax2 + bx = 0: x(ax + b) = 0, com soluções x = 0 e x = −b ÷ a.
  • Nunca divida por x: perde-se a solução nula.
  • Verifique substituindo na equação inicial.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), nos capítulos sobre fatorização e equações quadráticas.

Continue a estudar

9.ª–10.ª classe7 min

Exercícios resolvidos de equações do 2.º grau

Para treinar equações do 2.º grau, resolva por ordem de dificuldade: primeiro as incompletas, depois a fórmula resolvente com Δ = b2 − 4ac, depois equações que exigem…

9 exemplos5 exercícios com solução

9.ª–10.ª classe9 min

O que é uma equação do 2.º grau?

Equação do 2.º grau é toda a equação que se pode escrever na forma ax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0. O «2.º grau» vem do maior expoente da incógnita…

4 exemplos5 exercícios com solução

9.ª–10.ª classe8 min

Como resolver equações do 2.º grau?

Passos: escreva a equação na forma ax2 + bx + c = 0, calcule o discriminante Δ = b2 − 4ac e aplique x = (−b ± √Δ) ÷ (2a). Se Δ é positivo há duas soluções reais, se Δ =…

4 exemplos5 exercícios com solução

9.ª–10.ª classe8 min

Como resolver problemas com equações do 2.º grau?

Passos: escolha a incógnita x e diga o que representa; traduza o enunciado numa equação; passe-a à forma ax2 + bx + c = 0 e resolva; rejeite as soluções que não fazem…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Matemática · Capítulo: Equações do 2.º grau