Matemática · 11.ª–12.ª classe

Como resolver problemas de otimização?

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Resposta curta

Para resolver um problema de otimização, identifique a grandeza a tornar máxima ou mínima (a função objetivo), use a restrição do enunciado para a escrever com uma só variável, indique o domínio, derive e resolva f'(x) = 0. Depois confirme se é máximo ou mínimo e responda à pergunta, com unidades.

Quando se aplica

Um problema de otimização pede «o maior», «o menor», «a área máxima», «o custo mínimo» ou «o lucro máximo» de uma situação em que há uma grandeza que varia com uma escolha (as dimensões de um terreno, o preço de um produto, o tamanho de um recorte). Costuma ter dois ingredientes:

  • Função objetivo: a grandeza que se quer otimizar (área, volume, lucro, distância).
  • Restrição: uma condição que liga as variáveis (um comprimento de rede fixo, um perímetro, uma soma). Serve para eliminar uma variável.

O domínio vem do contexto: comprimentos são positivos, o número de unidades vendidas não é negativo, e assim por diante.

Método passo a passo

  1. Leia e desenhe. Faça um esquema, nomeie as variáveis com letras (x, y) e escreva as unidades.
  2. Escreva a função objetivo em função de duas variáveis (por exemplo, A = x · y).
  3. Escreva a restrição e use-a para exprimir uma variável em função da outra.
  4. Substitua, obtendo a função objetivo com uma só variável, f(x).
  5. Determine o domínio a partir do contexto (por exemplo, 0 < x < 30).
  6. Derive e resolva f'(x) = 0. Rejeite as soluções fora do domínio.
  7. Classifique o ponto: pelo sinal de f' (de + para − é máximo; de − para + é mínimo) ou por f'' (f'' < 0 máximo; f'' > 0 mínimo). Se o domínio for fechado, compare também com os valores nos extremos.
  8. Responda à pergunta do enunciado (que pode ser a outra variável ou o valor da função), com unidades.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Produto máximo

Enunciado: Entre todos os pares de números positivos cuja soma é 20, qual é o par que dá o maior produto?

Resolução:

  1. Os números são x e y, com x + y = 20 (restrição). O produto é P = x · y (objetivo).
  2. Da restrição, y = 20 − x. Então P(x) = x(20 − x) = 20x − x2, com domínio 0 < x < 20.
  3. P'(x) = 20 − 2x. P'(x) = 0 quando x = 10.
  4. P' é positiva antes de 10 e negativa depois (ou P''(x) = −2 < 0), logo x = 10 é um máximo.
  5. Então y = 20 − 10 = 10 e P(10) = 100.

Resposta: os números são 10 e 10, com produto máximo 100. Verificação: com 9 e 11, o produto é 99; com 8 e 12, é 96; ambos menores do que 100.

Exemplo 2 — Cercado junto a um muro

Enunciado: Um agricultor do Huambo tem 60 m de rede para vedar um canteiro retangular encostado a um muro, pelo que só precisa de vedar três lados. Que dimensões dão a maior área?

Resolução:

  1. Seja x o comprimento de cada um dos dois lados perpendiculares ao muro e y o lado paralelo ao muro.
  2. Restrição: 2x + y = 60, logo y = 60 − 2x. Objetivo: A = x · y.
  3. A(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x2, com domínio 0 < x < 30 (para y ser positivo).
  4. A'(x) = 60 − 4x. A'(x) = 0 quando x = 15.
  5. A''(x) = −4 < 0, logo é um máximo.
  6. y = 60 − 2 × 15 = 30 e A(15) = 15 × 30 = 450.

Resposta: os lados perpendiculares ao muro medem 15 m e o paralelo mede 30 m, dando a área máxima de 450 m2. Verificação: a rede usada é 15 + 15 + 30 = 60 m. Com x = 14 a área é 14 × 32 = 448 m2 e com x = 16 é 16 × 28 = 448 m2, ambas menores do que 450.

Exemplo 3 — Caixa de volume máximo

Enunciado: De uma folha quadrada de cartolina com 12 cm de lado cortam-se quatro quadrados iguais, de lado x, nos cantos, e dobram-se os lados para formar uma caixa sem tampa. Que valor de x dá o maior volume?

Resolução:

  1. Depois do corte, a base é um quadrado de lado 12 − 2x e a altura é x.
  2. Volume: V(x) = x(12 − 2x)2, com domínio 0 < x < 6.
  3. Derive pela regra do produto: V'(x) = (12 − 2x)2 + x · 2(12 − 2x)(−2) = (12 − 2x)[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x).
  4. V'(x) = 0 quando x = 6 ou x = 2. O valor 6 está fora do domínio aberto, e dá volume 0.
  5. Em 0 < x < 2, V' é positiva; em 2 < x < 6, V' é negativa. Logo x = 2 é um máximo.
  6. V(2) = 2 × (12 − 4)2 = 2 × 64 = 128.

Resposta: x = 2 cm, com o volume máximo de 128 cm3 (base de 8 cm por 8 cm e altura de 2 cm). Verificação: com x = 1,5, V = 1,5 × 92 = 121,5 cm3; com x = 2,5, V = 2,5 × 72 = 122,5 cm3; ambos menores do que 128.

Exemplo 4 — Nível de exame: lucro com domínio fechado

Enunciado: Suponha que o lucro mensal de uma pequena fábrica de sumos em Luanda, em milhares de kwanzas, é L(x) = −2x2 + 36x − 70, onde x é o número de centenas de garrafas produzidas, com 0 ≤ x ≤ 15. Quantas garrafas devem ser produzidas para o lucro ser máximo e qual é esse lucro?

Resolução:

  1. A função objetivo já vem numa só variável. O domínio é [0, 15].
  2. L'(x) = −4x + 36. L'(x) = 0 quando x = 9.
  3. L' é positiva antes de 9 e negativa depois, logo x = 9 é um máximo local.
  4. Como o domínio é fechado, compare com os extremos: L(0) = −70, L(9) = −162 + 324 − 70 = 92 e L(15) = −450 + 540 − 70 = 20.
  5. O maior valor é L(9) = 92.

Resposta: produzir 900 garrafas (x = 9 centenas), com o lucro máximo de 92 mil kwanzas (92 000 Kz). Verificação: L(8) = −128 + 288 − 70 = 90 e L(10) = −200 + 360 − 70 = 90, ambos menores do que 92.

Erros frequentes

  • Derivar sem reduzir a uma variável. Se a função objetivo ainda tem x e y, use a restrição primeiro; só se deriva uma função de uma variável.
  • Não indicar o domínio. Sem ele não se consegue rejeitar soluções absurdas (como x = 6 no Exemplo 3) nem comparar com os extremos.
  • Responder só com x. Se a pergunta pede a área, o volume ou o lucro, falta calcular o valor da função. Se pede as dimensões, falta calcular a outra variável.
  • Não confirmar que é máximo ou mínimo. Um ponto onde f' = 0 pode não ser o que o problema pede; verifique o sinal de f' ou de f''.
  • Misturar unidades (metros com centímetros, kwanzas com milhares de kwanzas) e dar a resposta numa unidade errada.
  • Escrever a restrição errada, por exemplo usar a área no lugar do perímetro. Releia o enunciado e confira com os números do resultado final.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Entre todos os pares de números positivos cujo produto é 36, qual tem a menor soma?

Ver dica

Escreva a soma como S(x) = x + 36/x, com x > 0.

Ver solução

S'(x) = 1 − 36/x2. S'(x) = 0 quando x2 = 36, ou seja, x = 6 (a raiz negativa não serve). S' é negativa para x < 6 e positiva para x > 6, logo é um mínimo. Os números são 6 e 6, e a soma mínima é 12.

2Exercício 2

Um retângulo tem perímetro de 40 m. Quais são as dimensões que dão a maior área e qual é essa área?

Ver solução

2x + 2y = 40 dá y = 20 − x. A(x) = x(20 − x) = 20x − x2, com 0 < x < 20. A'(x) = 20 − 2x = 0 em x = 10, e A'' = −2 < 0 (máximo). Então y = 10: é um quadrado de lado 10 m, com área máxima 100 m2.

3Exercício 3

Com 120 m de rede quer-se vedar um terreno retangular dividido em dois compartimentos iguais por uma rede paralela a um dos lados. Quais as dimensões que dão a maior área?

Ver dica

A rede total inclui 3 segmentos de comprimento x e 2 segmentos de comprimento y.

Ver solução

Restrição: 3x + 2y = 120, logo y = 60 − 1,5x. A(x) = x(60 − 1,5x) = 60x − 1,5x2, com 0 < x < 40. A'(x) = 60 − 3x = 0 em x = 20, e A'' = −3 < 0 (máximo). Então y = 60 − 30 = 30. Dimensões 20 m por 30 m, com área 600 m2. Verificação: 3 × 20 + 2 × 30 = 120 m.

4Exercício 4

De uma folha quadrada de 18 cm de lado cortam-se quadrados de lado x nos cantos para formar uma caixa sem tampa. Determine x para o volume ser máximo e calcule esse volume.

Ver dica

V(x) = x(18 − 2x)2. A derivada fatoriza-se como (18 − 2x)(18 − 6x).

Ver solução

V'(x) = (18 − 2x)2 + x · 2(18 − 2x)(−2) = (18 − 2x)(18 − 6x). Os zeros são x = 9 (fora do domínio 0 < x < 9) e x = 3. V' é positiva antes de 3 e negativa depois, logo x = 3 é máximo. V(3) = 3 × 122 = 432 cm3.

5Exercício 5

Um vendedor estima que vende q = 100 − 2p unidades por dia quando cada unidade custa p centenas de kwanzas (com 0 ≤ p ≤ 50). Que preço dá a maior receita diária e qual é essa receita?

Ver dica

A receita é preço vezes quantidade: R(p) = p · q.

Ver solução

R(p) = p(100 − 2p) = 100p − 2p2. R'(p) = 100 − 4p = 0 em p = 25. R'' = −4 < 0, logo é máximo; nos extremos, R(0) = 0 e R(50) = 0. Com p = 25, q = 100 − 50 = 50 e R = 25 × 50 = 1 250 centenas de kwanzas. Preço 2 500 Kz, vendendo 50 unidades, receita 125 000 Kz por dia.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que o enunciado pergunta pelo máximo ou mínimo de uma grandeza que depende de uma escolha: dimensões que maximizam uma área, preço que maximiza uma receita, quantidade que minimiza um custo. As palavras-chave são «maior», «menor», «máximo», «mínimo», «mais económico».

Existe um método mais rápido?

Quando a função objetivo é uma parábola, o extremo está no vértice, em x = −b ÷ (2a), sem derivar. Há também resultados conhecidos, como o de que, entre os retângulos com o mesmo perímetro, o quadrado tem a maior área. Mesmo assim, deve apresentar o raciocínio que o professor pede.

Como sei se encontrei um máximo ou um mínimo?

Estude o sinal de f' antes e depois do ponto, ou calcule f'' nesse ponto. Em problemas com domínio fechado, compare ainda com os valores nos extremos do intervalo. O contexto também ajuda: se a área tende para 0 nas duas pontas do domínio (como no cercado do Exemplo 2), o único ponto crítico só pode ser um máximo.

Que erros são mais comuns?

Esquecer a restrição, não indicar o domínio, responder só com x e confundir a unidade do resultado. Veja a lista de erros acima e faça sempre a verificação com dois valores perto do ponto encontrado.

Resumo

  • Identifique a função objetivo e a restrição; use a restrição para ficar com uma só variável.
  • Indique o domínio a partir do contexto antes de derivar.
  • Resolva f'(x) = 0, rejeite soluções fora do domínio e classifique o ponto pelo sinal de f' ou por f''.
  • Em domínio fechado, compare também com os valores nos extremos.
  • Responda à pergunta feita, com unidades, e verifique com valores próximos.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema aparece. Em Portugal, consulte as Aprendizagens Essenciais da DGE.
  • OpenStax, Calculus Volume 1 (em inglês), capítulo sobre aplicações das derivadas, secção sobre problemas de otimização.
  • No MeuGuia, veja também o artigo sobre como determinar extremos de uma função com a derivada.

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