Matemática · 9.ª–10.ª classe
Quais são os erros mais comuns em equações do 2.º grau?
Resposta curta
Os erros mais comuns em equações do 2.º grau são: não pôr a equação na forma ax2 + bx + c = 0, perder sinais ao calcular Δ = b2 − 4ac, dividir só parte da fórmula por 2a, esquecer o «±», dividir por x e perder a solução nula, e aplicar «produto igual a zero» quando o produto não é zero.
Porque se cometem estes erros
A maior parte dos erros não vem de não saber a fórmula, mas de pressa e falta de arrumação. Os sinais negativos, os parênteses e as frações são os pontos onde a atenção falha. Há também hábitos trazidos das equações do 1.º grau que aqui são enganadores: dividir os dois membros por x ou «passar» uma raiz sem o ±. Conhecer os erros típicos ajuda a reconhecê-los no seu próprio caderno.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Sinal de b ao quadrado
Enunciado: Resolva x2 − 4x − 5 = 0.
Versão errada: Δ = −42 − 4 × 1 × (−5) = −16 + 20 = 4, logo x = (4 ± 2) ÷ 2 = 3 ou 1.
Resolução correta:
- a = 1, b = −4, c = −5.
- Δ = (−4)2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36, √Δ = 6.
- x = (4 ± 6) ÷ 2, logo x = 5 ou x = −1.
Resposta: x = 5 ou x = −1. Verificação: 25 − 20 − 5 = 0 e 1 + 4 − 5 = 0, enquanto 3 dá 9 − 12 − 5 = −8, diferente de zero, o que denuncia o erro.
Exemplo 2 — Equação que não está na forma geral
Enunciado: Resolva 2x2 + 3x = 5.
Versão errada: a = 2, b = 3, c = 5, Δ = 9 − 40 = −31, «sem soluções».
Resolução correta:
- Passe o 5 para a esquerda: 2x2 + 3x − 5 = 0, com c = −5.
- Δ = 9 + 40 = 49, √Δ = 7.
- x = (−3 ± 7) ÷ 4, logo x = 1 ou x = −5/2.
Resposta: x = 1 ou x = −5/2. Verificação: 2 + 3 = 5 e 2 × 25/4 − 15/2 = 12,5 − 7,5 = 5.
Exemplo 3 — Dividir por x e esquecer o ±
Enunciado: Resolva (a) 3x2 = 12x e (b) x2 = 49.
Versões erradas: (a) divide por x: 3x = 12, x = 4. (b) x = 7.
Resolução correta:
- (a) 3x2 − 12x = 0 → 3x(x − 4) = 0 → x = 0 ou x = 4.
- (b) x2 = 49 → x = 7 ou x = −7.
Resposta: (a) x = 0 ou x = 4; (b) x = 7 ou x = −7. Verificação: 3 × 0 = 0 = 12 × 0; (−7)2 = 49.
Exemplo 4 — Produto diferente de zero
Enunciado: Resolva (x − 2)(x + 3) = 6.
Versão errada: «um dos fatores é 6», logo x = 8 ou x = 3; ou então «x − 2 = 0 ou x + 3 = 0», logo x = 2 ou x = −3.
Resolução correta:
- Desenvolva: x2 + x − 6 = 6.
- x2 + x − 12 = 0, com Δ = 1 + 48 = 49.
- x = (−1 ± 7) ÷ 2, logo x = 3 ou x = −4.
Resposta: x = 3 ou x = −4. Verificação: (3 − 2)(3 + 3) = 1 × 6 = 6 e (−4 − 2)(−4 + 3) = (−6)(−1) = 6. A lei do anulamento só se aplica quando o produto é zero.
Erros frequentes
- Não arrumar a equação. Evite-o escrevendo sempre «= 0» antes de ler a, b e c.
- Perder o sinal de b ou de c. Escreva a, b e c com sinal numa linha própria.
- Calcular (−4)2 como −16. Use parênteses e lembre-se de que o quadrado de um negativo é positivo.
- Esquecer que −4ac muda de sinal quando c é negativo. Com c = −5 e a = 1, −4ac = +20.
- Dividir só o √Δ por 2a, escrevendo 5 ± 1/2 em vez de (5 ± 1) ÷ 2. Ponha o numerador entre parênteses.
- Dividir por x e perder x = 0, ou extrair a raiz sem o ±.
- Desenvolver mal um quadrado: (x + 3)2 é x2 + 6x + 9, não x2 + 9.
- Não rejeitar soluções negativas quando representam comprimentos.
Verificação rápida antes de entregar
- Substitua cada solução na equação original; o resultado tem de ser zero (ou os dois membros iguais).
- Teste a soma e o produto: a soma das soluções é −b ÷ a e o produto é c ÷ a. Em x2 − 4x − 5 = 0, as soluções 5 e −1 dão soma 4 e produto −5, como esperado.
- Olhe para Δ: se deu um número que não é quadrado perfeito, confirme as contas; em exercícios escolares costuma ser um quadrado perfeito.
- Releia o enunciado e confirme se as soluções fazem sentido no contexto.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Um aluno resolveu x2 − 6x + 8 = 0 assim: Δ = 36 − 32 = 4 e x = 6 ± 2 ÷ 2 = 7 ou 5. Encontre o erro e corrija.
Ver solução
O erro está na fórmula: só o 2 foi dividido por 2, em vez de todo o numerador. O correto é x = (6 ± 2) ÷ 2, ou seja, x = 4 ou x = 2. Verificação: 16 − 24 + 8 = 0 e 4 − 12 + 8 = 0.
2Exercício 2
Um aluno resolveu x2 + x − 6 = 0 e escreveu Δ = 1 − 24 = −23, «sem soluções». Encontre o erro e corrija.
Ver solução
O erro é o sinal de −4ac: com c = −6, −4 × 1 × (−6) = +24. Então Δ = 1 + 24 = 25 e x = (−1 ± 5) ÷ 2, isto é, x = 2 ou x = −3. Verificação: 4 + 2 − 6 = 0 e 9 − 3 − 6 = 0.
3Exercício 3
Para resolver (x − 1)(x − 4) = 10, um aluno escreveu x − 1 = 10 ou x − 4 = 10, logo x = 11 ou x = 14. Encontre o erro e resolva corretamente.
Ver dica
O produto é igual a 10, não a zero.
Ver solução
O anulamento do produto só vale para produto zero. Desenvolvendo: x2 − 5x + 4 = 10, logo x2 − 5x − 6 = 0. Δ = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) ÷ 2, isto é, x = 6 ou x = −1. Verificação: 5 × 2 = 10 e (−2) × (−5) = 10.
4Exercício 4
Um aluno resolveu x2 − 3x = 0 dividindo por x e obteve x = 3. Qual é o erro e qual é a resposta correta?
Ver solução
Dividir por x perde a solução x = 0. Correto: x(x − 3) = 0, logo x = 0 ou x = 3.
5Exercício 5
Dois números naturais consecutivos têm produto 30. Um aluno obteve x = 5 ou x = −6 e respondeu que os números são 5 e −6. Corrija.
Ver dica
Os números são x e x + 1.
Ver solução
Com x2 + x − 30 = 0, Δ = 121 e x = (−1 ± 11) ÷ 2, de facto 5 ou −6. Mas o segundo número é x + 1. Para x = 5, os números são 5 e 6. Como o enunciado pede números naturais, −6 rejeita-se (daria −6 e −5, que não são naturais). Verificação: 5 × 6 = 30.
Perguntas frequentes
Qual é o erro mais comum nos exames?
Os erros de sinal no cálculo de Δ, sobretudo com b ou c negativos, são dos mais frequentes. Costumam aparecer também a falta de arrumação inicial e o esquecimento do «±». Convém confirmar com o seu professor quais são os mais penalizados na sua escola.
Como me autocorrijo?
Substitua as soluções na equação inicial e verifique a soma e o produto. Se alguma das duas falhar, procure o erro primeiro no sinal de Δ e depois na divisão por 2a.
Que exercícios ajudam a evitar estes erros?
Os de «encontrar o erro» são muito eficazes, porque obrigam a ler cada passo. Treine também equações com c negativo, com b negativo e com a diferente de 1, e escreva sempre a, b e c com sinal.
Δ negativo é um erro?
Não. Δ negativo é um resultado correto quando indica que a equação não tem soluções reais. O erro está em concluir isso por ter calculado mal o sinal de −4ac.
Resumo
- Arrume a equação para «= 0» antes de ler a, b, c.
- Escreva a, b, c com sinal e use parênteses em (−b)2.
- O numerador (−b ± √Δ) divide-se todo por 2a.
- Não divida por x; não esqueça o ±; produto só se anula quando é zero.
- Verifique por substituição e pela soma e produto das soluções.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), nas secções sobre equações quadráticas.
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