Matemática · 7.ª–9.ª classe

Quais são os erros mais comuns em álgebra?

  • 11 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

Os erros mais frequentes em álgebra são oito: escrever (a + b)2 = a2 + b2; esquecer de trocar os sinais depois de um «−» antes de parênteses; somar termos que não são semelhantes; multiplicar expoentes em vez de os somar; passar termos de membro sem trocar o sinal; cancelar parcelas em vez de fatores; confundir (2x)2 com 2x2; e distribuir só o primeiro termo.

Porque se cometem estes erros

A maior parte dos erros de álgebra não vem de «não saber contas», mas de aplicar regras que parecem naturais e não são verdadeiras. Por exemplo, como 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4, muitos alunos pensam que (3 + 4)2 se reparte da mesma maneira. Outros erros nascem da pressa: juntar vários passos numa linha, perder um sinal, esquecer um termo.

Verificação rápida antes de entregar

Existe um teste que apanha a maioria dos erros: substitua a letra por um número simples e calcule os dois lados. Se os resultados forem diferentes, a igualdade está errada.

  • Use um número como 2 ou 3. Com 0 ou 1 pode ter azar: 3x + 2 e 5x dão ambos 5 quando x = 1, embora não sejam iguais.
  • Se os dois lados derem o mesmo valor em dois ou três testes, a igualdade é provavelmente correta (mas um teste não prova a igualdade).
  • Nas equações, substitua a solução encontrada na equação inicial.

Os oito erros mais frequentes

Erro 1 — Quadrado de uma soma

Errado: (x + 3)2 = x2 + 9. Certo: (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9.

Falta o termo do meio, 2 × x × 3 = 6x. Teste com x = 1: o lado esquerdo vale 42 = 16; o direito errado vale 1 + 9 = 10, e o certo vale 1 + 6 + 9 = 16. Como evitar: quando vir um quadrado de uma soma, escreva o parêntese duas vezes e multiplique.

Erro 2 — Sinal menos antes de um parêntese

Errado: 5 − (x − 2) = 5 − x − 2. Certo: 5 − (x − 2) = 5 − x + 2 = 7 − x.

O sinal «−» troca todos os sinais dentro do parêntese. Teste com x = 3: o original vale 5 − 1 = 4; o certo vale 7 − 3 = 4; o errado vale 5 − 3 − 2 = 0. Como evitar: escreva uma seta sobre cada termo do parêntese e troque-os um a um.

Erro 3 — Somar termos que não são semelhantes

Errado: 3x + 2 = 5x. Certo: 3x + 2 já está reduzido.

Os termos 3x e 2 têm partes literais diferentes. Teste com x = 2: 3 × 2 + 2 = 8, mas 5 × 2 = 10. Como evitar: antes de somar, confirme se a parte literal é exatamente igual (mesmas letras e mesmos expoentes).

Erro 4 — Expoentes na multiplicação

Errado: x2 × x3 = x6. Certo: x2 × x3 = x5.

Multiplicar potências da mesma base soma os expoentes. Teste com x = 2: 4 × 8 = 32, que é 25; já 26 = 64. Como evitar: pense nos fatores: (x × x) × (x × x × x) tem cinco x.

Erro 5 — Passar um termo de membro sem trocar o sinal

Errado: 2x − 6 = 10, logo 2x = 10 − 6 = 4 e x = 2. Certo: 2x = 10 + 6 = 16 e x = 8.

Teste: para x = 8, 2 × 8 − 6 = 10, o que confirma; para x = 2, 2 × 2 − 6 = −2, que não dá 10. Como evitar: pense «o que faço aos dois lados?» e escreva essa operação em ambos (somar 6 a cada membro), em vez de «mudar de lado».

Erro 6 — Cancelar parcelas em vez de fatores

Errado: (x + 4) ÷ 4 = x, ou (6x + 9) ÷ 3 = 2x + 9. Certo: (x + 4) ÷ 4 = x/4 + 1 e (6x + 9) ÷ 3 = 2x + 3.

Só se pode cancelar um fator comum ao numerador inteiro e ao denominador, e na divisão de uma soma é preciso dividir todas as parcelas. Teste com x = 4: (4 + 4) ÷ 4 = 2; o errado dá 4 e o certo dá 4 ÷ 4 + 1 = 2. Como evitar: ponha primeiro em evidência: 6x + 9 = 3(2x + 3) e só depois cancele o 3.

Erro 7 — Potência: (2x)2 contra 2x2

Errado: (2x)2 = 2x2. Certo: (2x)2 = 4x2.

O parêntese eleva tudo o que está lá dentro ao quadrado, incluindo o coeficiente. Sem parênteses, 2x2 eleva só o x. Teste com x = 3: (2 × 3)2 = 36 = 4 × 9, mas 2 × 32 = 18. Como evitar: em potências, pergunte-se «o que está a ser elevado?». Da mesma forma, −32 = −9, mas (−3)2 = 9.

Erro 8 — Distributiva incompleta

Errado: 3(x + 2) = 3x + 2. Certo: 3(x + 2) = 3x + 6.

O fator de fora multiplica todos os termos do parêntese. Teste com x = 1: 3 × 3 = 9; o certo dá 3 + 6 = 9 e o errado dá 3 + 2 = 5. Como evitar: desenhe um arco do fator para cada termo do parêntese e conte os arcos.

Quadro-resumo

ErradoCerto
(a + b)2 = a2 + b2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
− (x − 2) = −x − 2− (x − 2) = −x + 2
3x + 2 = 5x3x + 2 (não se reduz)
x2 × x3 = x6x2 × x3 = x5
(2x)2 = 2x2(2x)2 = 4x2
3(x + 2) = 3x + 23(x + 2) = 3x + 6

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Parênteses e sinais

Enunciado: Um aluno escreveu 2(x + 3) − (x − 4) = 2x + 3 − x − 4 = x − 1. Encontre os erros e corrija.

Resolução:

  1. Primeiro erro: 2(x + 3) = 2x + 6, e não 2x + 3 (faltou multiplicar o 3 por 2).
  2. Segundo erro: −(x − 4) = −x + 4, e não −x − 4 (faltou trocar o sinal do 4).
  3. Corrigido: 2x + 6 − x + 4 = (2x − x) + (6 + 4) = x + 10.

Resposta: o resultado certo é x + 10. Verificação: para x = 1, 2 × 4 − (−3) = 8 + 3 = 11 e 1 + 10 = 11; o resultado do aluno, 1 − 1 = 0, não coincide.

Exemplo 2 — Equação

Enunciado: Um aluno resolveu 3x − 5 = 2x + 7 assim: 3x + 2x = 7 − 5, 5x = 2, x = 2/5. Encontre o erro e resolva corretamente.

Resolução:

  1. O erro está em passar 2x para o 1.º membro sem trocar o sinal (devia ser −2x) e em passar o −5 para o 2.º membro também sem trocar o sinal (devia ser +5).
  2. Correto: 3x − 2x = 7 + 5.
  3. Então x = 12.

Resposta: x = 12. Verificação: 3 × 12 − 5 = 31 e 2 × 12 + 7 = 31.

Exemplo 3 — Quadrado de uma diferença

Enunciado: Um aluno desenvolveu (x − 4)2 − x(x − 8) assim: x2 − 16 − x2 − 8x = −8x − 16. Encontre os erros e corrija.

Resolução:

  1. Primeiro erro: (x − 4)2 = x2 − 8x + 16 (falta o duplo produto, e o último termo é positivo).
  2. Segundo erro: −x(x − 8) = −x2 + 8x, e não −x2 − 8x (o sinal «−» também se aplica ao −8).
  3. Corrigido: x2 − 8x + 16 − x2 + 8x = 16.

Resposta: o resultado certo é 16, um número que não depende de x. Verificação: para x = 1, (−3)2 − 1 × (−7) = 9 + 7 = 16. O resultado do aluno daria −24.

Exemplo 4 — Frações algébricas

Enunciado: Um aluno simplificou (6x + 9) ÷ 3 + (x2 + x) ÷ x como 2x + 9 + x2 + 1. Encontre os erros e corrija (com x diferente de 0).

Resolução:

  1. Primeiro erro: (6x + 9) ÷ 3 = 2x + 3; o 9 também tem de ser dividido por 3.
  2. Segundo erro: (x2 + x) ÷ x = x + 1; o x2 também tem de ser dividido por x.
  3. Corrigido: 2x + 3 + x + 1 = 3x + 4.

Resposta: 3x + 4. Verificação: para x = 2, 21 ÷ 3 + 6 ÷ 2 = 7 + 3 = 10 e 3 × 2 + 4 = 10.

Maus hábitos de resolução

  • Fazer vários passos numa linha só. É aí que desaparece um sinal; escreva um passo por linha.
  • Mudar de lado em vez de operar nos dois lados. Em equações, a mesma operação aplica-se a ambos os membros.
  • Copiar mal de uma linha para a seguinte. Confira cada linha com a anterior.
  • Não verificar a solução. A substituição no enunciado leva dez segundos e apanha quase todos os erros.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Encontre e corrija o erro em cada igualdade: (a) 4(x − 3) = 4x − 3; (b) 2x + 3x = 5x2.

Ver solução

(a) O 4 tem de multiplicar também o −3: 4(x − 3) = 4x − 12. Teste com x = 2: 4 × (−1) = −4 e 4 × 2 − 12 = −4. (b) Somam-se os coeficientes e o expoente mantém-se: 2x + 3x = 5x. Teste com x = 2: 4 + 6 = 10 e 5 × 2 = 10.

2Exercício 2

Um aluno escreveu −(2x − 5) + 3 = −2x − 5 + 3 = −2x − 2. Corrija.

Ver dica

O sinal «−» troca os sinais de todos os termos do parêntese.

Ver solução

−(2x − 5) = −2x + 5. Logo −2x + 5 + 3 = −2x + 8. Teste com x = 1: −(−3) + 3 = 6 e −2 + 8 = 6.

3Exercício 3

Um aluno resolveu 5x − 3 = 2x + 9 assim: 5x + 2x = 9 + 3, 7x = 12, x = 12/7. Encontre o erro e resolva corretamente.

Ver solução

O erro está em somar 2x quando devia subtrair (passar o 2x para o 1.º membro troca o sinal). Correto: 5x − 2x = 9 + 3, 3x = 12, x = 4. Verificação: 5 × 4 − 3 = 17 e 2 × 4 + 9 = 17.

4Exercício 4

Um aluno escreveu (2x − 1)2 = 4x2 − 1. Corrija e verifique com x = 1.

Ver dica

Escreva o parêntese duas vezes e multiplique.

Ver solução

(2x − 1)(2x − 1) = 4x2 − 2x − 2x + 1 = 4x2 − 4x + 1. Verificação com x = 1: (2 − 1)2 = 1 e 4 − 4 + 1 = 1; o resultado do aluno daria 3, que não coincide.

5Exercício 5

Em cada simplificação do aluno há um erro; encontre-o e corrija: (a) (10x + 15) ÷ 5 = 2x + 15; (b) (x2 − 9) ÷ (x − 3) = x − 3 (com x diferente de 3).

Ver dica

Em (b), fatorize o numerador com um caso notável.

Ver solução

(a) Dividem-se todas as parcelas: 10x ÷ 5 = 2x e 15 ÷ 5 = 3, logo 2x + 3. (b) x2 − 9 = (x + 3)(x − 3), e cancela-se o fator (x − 3): o resultado é x + 3. Teste de (b) com x = 5: (25 − 9) ÷ 2 = 8 e 5 + 3 = 8; já x − 3 daria 2.

Perguntas frequentes

Qual é o erro mais comum nos exames?

Não há uma estatística oficial que se possa citar, mas na prática escolar os erros de sinal (sobretudo com o «−» antes de parênteses) e o desenvolvimento incorreto de (a + b)2 estão entre os mais frequentes. Treine estes dois com o teste de substituição.

Como me autocorrijo?

Depois de resolver, substitua a letra por um número simples nos dois lados de cada igualdade que escreveu, ou, numa equação, substitua a solução no enunciado. Se não coincidirem, procure o erro linha a linha, de cima para baixo.

Que exercícios ajudam a evitar estes erros?

Exercícios de «encontra o erro», como os desta página, e exercícios em que escreve todos os passos. Mantenha um caderno de erros com a regra errada, a regra certa e um exemplo numérico para cada um.

Posso confiar num teste com um só número?

Um teste pode provar que uma igualdade está errada, mas não prova que está certa, porque dois lados diferentes podem coincidir num valor (como 3x + 2 e 5x em x = 1). Teste com dois valores diferentes e, se possível, evite 0 e 1.

Resumo

  • Os erros mais comuns são de sinais, de distributiva e de potências.
  • (a + b)2 tem três termos: a2 + 2ab + b2.
  • Um «−» antes de parênteses troca todos os sinais.
  • Só se somam termos semelhantes; só se cancelam fatores.
  • Antes de entregar, substitua um número (2 ou 3) nos dois lados de cada igualdade.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Elementary Algebra (em inglês), nas secções sobre expressões e polinómios.
  • A Khan Academy, que tem lições de álgebra básica disponíveis em português.

Continue a estudar

7.ª–9.ª classe8 min

Como calcular o valor numérico de uma expressão algébrica?

Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, substitua cada letra pelo número indicado, escrevendo-o entre parênteses, e calcule depois pela ordem das…

4 exemplos5 exercícios com solução

7.ª–9.ª classe8 min

Como somar e subtrair polinómios?

Para somar polinómios, escreva-os um a seguir ao outro e reduza os termos semelhantes (os que têm a mesma parte literal), somando os coeficientes. Para subtrair, troque…

4 exemplos5 exercícios com solução

7.ª–9.ª classe8 min

Como multiplicar polinómios?

Para multiplicar polinómios, multiplique cada termo do primeiro por todos os termos do segundo (propriedade distributiva), aplicando a regra dos sinais aos coeficientes…

4 exemplos5 exercícios com solução

7.ª–9.ª classe9 min

Quais são os casos notáveis da multiplicação?

Os casos notáveis da multiplicação são identidades que dão o resultado de certos produtos sem os multiplicar termo a termo. Os três principais são: o quadrado da soma…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Matemática · Capítulo: Expressões algébricas, monómios e polinómios