Matemática · 6.ª–9.ª classe

Quais são os erros mais comuns em potências e raízes?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Os erros mais comuns em potências e raízes são ler −32 como 9, multiplicar a base pelo expoente, distribuir a potência por uma soma, trocar as regras dos expoentes, esquecer que a0 vale 1 e separar a raiz de uma soma. Para os evitar, teste sempre a regra com números pequenos.

Porque se cometem estes erros

As potências e as raízes têm regras que se parecem com as da soma e da multiplicação, e é daí que nasce a confusão: o aluno aplica uma regra certa no sítio errado. Há três origens principais:

  • Ler mal a notação: não perceber onde começa e acaba a base, ou a que parte da expressão pertence o sinal.
  • Usar uma propriedade fora das suas condições: por exemplo, somar expoentes quando as bases são diferentes.
  • Calcular de memória sem verificar: quase todos estes erros são detetados em dez segundos com um teste simples.

Verificação rápida antes de entregar

  1. Troque as letras ou os números difíceis por valores pequenos (2 e 3) e confirme se os dois lados dão o mesmo resultado.
  2. Controle o sinal: base negativa com expoente par dá resultado positivo; com expoente ímpar, negativo.
  3. Estime: √50 tem de estar entre 7 e 8, porque 72 = 49 e 82 = 64.
  4. Pergunte-se se a propriedade exige a mesma base, o mesmo expoente ou um produto (e não uma soma).

Os erros mais frequentes, um a um

Erro 1 — Confundir −32 com (−3)2

Errado: dizer que −32 vale 9. Certo: o expoente 2 só atinge o 3; o sinal de menos aplica-se depois. Assim, −32 = −(3 × 3) = −9, mas (−3)2 = (−3) × (−3) = 9. Como evitar: só há base negativa quando o sinal está dentro de parênteses.

Erro 2 — Multiplicar a base pelo expoente

Errado: calcular 23 como 2 × 3 (que dá 6). Certo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Como evitar: o expoente diz quantas vezes a base se repete como fator. Um teste imediato: 102 = 100, e não 20.

Erro 3 — Distribuir a potência por uma soma

Errado: escrever (3 + 4)2 como 32 + 42. Certo: (3 + 4)2 = 72 = 49, enquanto 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Os valores são diferentes, logo as expressões não são iguais. A potência distribui-se por um produto, como em (2 × 3)2 = 22 × 32 = 36, mas nunca por uma soma ou diferença.

Erro 4 — Trocar as regras dos expoentes

Há três regras que se confundem com facilidade:

SituaçãoRegraExemplo
Produto, mesma basesomam-se os expoentes23 × 24 = 27 = 128
Quociente, mesma basesubtraem-se os expoentes26 ÷ 22 = 24 = 16
Potência de potênciamultiplicam-se os expoentes(23)4 = 212 = 4 096

Errados frequentes: multiplicar os expoentes no produto (obter 212 em vez de 27), multiplicar as bases (passar 23 × 24 a 47) e dividir os expoentes no quociente.

Erro 5 — Expoente zero e expoente negativo

Errado: afirmar que 50 vale 0 (ou 5) e que 2−3 vale −8. Certo: 50 = 1, porque 53 ÷ 53 = 50 e qualquer número dividido por si próprio dá 1. E 2−3 = 1/23 = 1/8: o expoente negativo indica o inverso, não torna o resultado negativo.

Erro 6 — Separar a raiz de uma soma

Errado: passar √(9 + 16) a √9 + √16, o que daria 3 + 4 = 7. Certo: primeiro soma-se, 9 + 16 = 25, e depois extrai-se a raiz: √25 é 5. A raiz distribui-se por produto e quociente (a raiz de 9 × 16 é 3 × 4 = 12), mas não por soma nem diferença.

Erro 7 — Confundir a raiz quadrada com a metade

Errado: dizer que √16 é 8 (metade de 16). Certo: √16 é o número não negativo que, elevado ao quadrado, dá 16, ou seja, 4, porque 4 × 4 = 16. Também não existe raiz quadrada real de um número negativo: √(−9) não é um número real, porque nenhum número real multiplicado por si próprio dá −9.

Quadro-resumo

CálculoResposta errada frequenteResposta certa
−329−9
2368
(3 + 4)22549
23 × 2421227, isto é, 128
5001
2−3−81/8
√(9 + 16)75
√1684

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Um erro de sinal

Enunciado: Um aluno calculou −42 + (−4)2 e obteve 32. Encontre o erro e dê o resultado certo.

Resolução:

  1. O aluno tratou −42 como se a base fosse −4. Mas sem parênteses a base é 4: −42 = −(4 × 4) = −16.
  2. Com parênteses, (−4)2 = (−4) × (−4) = 16.
  3. Soma: −16 + 16 = 0.

Resposta: o resultado certo é 0. Verificação: os dois termos são simétricos (um é −16 e o outro é 16), logo a soma é nula.

Exemplo 2 — Uma regra dos expoentes mal aplicada

Enunciado: Um aluno resolveu 32 × 34 e escreveu 96. Corrija.

Resolução:

  1. As bases são iguais (3), logo multiplicam-se as potências somando os expoentes e mantendo a base: 32 × 34 = 3(2+4) = 36.
  2. 36 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729.

Resposta: 36 = 729. Verificação: calculando por partes, 32 = 9 e 34 = 81, e 9 × 81 = 729. Já 96 seria 531 441, um valor enorme e claramente impossível.

Exemplo 3 — Raiz de uma soma

Enunciado: Um aluno calculou √(36 + 64) como 6 + 8 e obteve 14. Corrija.

Resolução:

  1. A raiz não se distribui pela soma. Calcula-se primeiro o interior: 36 + 64 = 100.
  2. Extrai-se a raiz: √100 é 10, porque 10 × 10 = 100.

Resposta: o resultado é 10. Verificação: 142 = 196, que não é 100; já 102 = 100.

Exemplo 4 — Nível de exame: todas as armadilhas juntas

Enunciado: Calcule 23 − (−3)2 + 40 + √49 e diga que erros cometeria um aluno distraído.

Resolução:

  1. 23 = 8 (um distraído diria 6).
  2. (−3)2 = 9 (um distraído diria −9, por confundir com −32).
  3. 40 = 1 (um distraído diria 0).
  4. √49 vale 7, porque 7 × 7 = 49.
  5. Juntando: 8 − 9 + 1 + 7 = 7.

Resposta: 7. Verificação: 8 − 9 = −1; −1 + 1 = 0; 0 + 7 = 7.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Um colega diz que 52 − 32 é igual a (5 − 3)2. Está certo? Calcule o valor correto de 52 − 32.

Ver solução

Não está certo. 52 − 32 = 25 − 9 = 16, enquanto (5 − 3)2 = 22 = 4. A potência não se distribui pela diferença.

2Exercício 2

Um colega calculou 23 × 22 e obteve 45. Qual é o resultado correto?

Ver dica

As bases são iguais: o que se faz aos expoentes?

Ver solução

Bases iguais: somam-se os expoentes e mantém-se a base. 23 × 22 = 25 = 32. Verificação: 8 × 4 = 32. O colega multiplicou as bases, o que não é permitido.

3Exercício 3

Um colega calculou √(25 − 9) como 5 − 3 e obteve 2. Corrija.

Ver solução

Primeiro calcula-se o interior: 25 − 9 = 16. Depois, a raiz quadrada de 16 é 4. Verificação: 42 = 16, enquanto 22 = 4.

4Exercício 4

Um colega diz que 3−2 vale −9. Corrija e calcule também 10−3.

Ver solução

Um expoente negativo dá o inverso: 3−2 = 1/32 = 1/9. Do mesmo modo, 10−3 = 1/103 = 1/1 000 = 0,001. Verificação: 9 × 1/9 = 1.

5Exercício 5

Calcule 3 × 23 − (−1)5 + √(42) e aponte as armadilhas.

Ver dica

Resolva primeiro cada potência e cada raiz, e só depois some e subtraia.

Ver solução

23 = 8, logo 3 × 8 = 24. A base −1 com expoente ímpar dá (−1)5 = −1, e subtrair −1 é o mesmo que somar 1. Por fim, 42 = 16 e a raiz quadrada de 16 é 4. Então 24 + 1 + 4 = 29.

Perguntas frequentes

Qual é o erro mais comum nos exames?

Não existe uma lista oficial, mas na prática os erros de sinal (−32 contra (−3)2) e a separação de (a + b)2 ou de √(a + b) estão entre os que mais custam pontos, porque parecem inofensivos. Treine-os até ficarem automáticos.

Como me autocorrijo?

Substitua as letras ou os números por valores pequenos e compare os dois lados. Se (3 + 4)2 e 32 + 42 dão resultados diferentes, a regra que usou está errada. Verifique também o sinal e estime o tamanho do resultado.

Que exercícios ajudam a evitar estes erros?

Os de «encontra o erro», em que se corrige um cálculo já feito, e os de pares de expressões parecidas (como −32 e (−3)2). Decorar os quadrados de 1 a 12 e os cubos de 1 a 5 também reduz as contas erradas.

√16 é 4 ou ±4?

O símbolo √16 representa apenas 4, a raiz não negativa. Já a equação x2 = 16 tem duas soluções, x = 4 e x = −4, porque ambos os números elevados ao quadrado dão 16.

Resumo

  • Sem parênteses, o expoente só afeta a base mais próxima: −32 é −9 e (−3)2 é 9.
  • O expoente conta quantas vezes a base se repete; não se multiplica pela base.
  • A potência distribui-se por produtos e quocientes, nunca por somas e diferenças; o mesmo vale para a raiz.
  • Mesma base: produto soma os expoentes, quociente subtrai-os, potência de potência multiplica-os.
  • a0 = 1 (com a diferente de zero) e a−n é o inverso de an.
  • Antes de entregar, teste a regra com números pequenos.

Onde aprofundar

  • O manual escolar aprovado da sua classe e o programa oficial de Matemática (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O livro aberto OpenStax Elementary Algebra (em inglês), nos capítulos sobre expoentes e raízes.
  • O seu professor, para saber que propriedades e que formas de resolução são exigidas nos testes da escola.

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