Matemática · 8.ª–12.ª classe
O que é a função exponencial?
Resposta curta
A função exponencial é uma função da forma f(x) = ax, em que a base a é um número positivo diferente de 1 e a variável x está no expoente. Tem domínio igual a todos os reais, só toma valores positivos, passa sempre no ponto (0, 1) e descreve crescimentos ou decaimentos por multiplicação repetida.
Definição e características
Numa função de potência, como x2, a variável está na base. Na função exponencial é ao contrário: a base é um número fixo e a variável está no expoente. Por exemplo, f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x são funções exponenciais; já h(x) = x2 não é.
Porque a > 0 e a ≠ 1
- Se a = 1, então 1x = 1 para todo o x: seria uma função constante, sem interesse.
- Se a < 0, a potência deixaria de estar definida para muitos expoentes (por exemplo, a raiz quadrada de um número negativo).
- Se a = 0, só teríamos 0x = 0 para x positivo, e o resto ficaria indefinido.
Propriedades principais
| Propriedade | a > 1 (ex.: 2x) | 0 < a < 1 (ex.: (1/2)x) |
|---|---|---|
| Domínio | ℝ (todos os reais) | ℝ |
| Contradomínio | ]0, +∞[ | ]0, +∞[ |
| Monotonia | estritamente crescente | estritamente decrescente |
| Ponto fixo do gráfico | (0, 1) | (0, 1) |
| Zeros | não tem | não tem |
| Assíntota horizontal | y = 0 (à esquerda) | y = 0 (à direita) |
Em palavras: o gráfico fica sempre acima do eixo dos xx, aproxima-se dele sem nunca o tocar e corta o eixo dos yy em 1, porque a0 = 1 seja qual for a base.
Regras das potências (úteis nesta função)
a(x+y) = ax × ay · a(x−y) = ax ÷ ay · a(−x) = 1 ÷ ax · (ax)y = a(xy)
Exemplos do quotidiano
A função exponencial aparece sempre que uma quantidade é multiplicada pelo mesmo fator em intervalos iguais: bactérias que se dividem, dinheiro com juros compostos, a perda de valor de um equipamento, o arrefecimento de uma bebida. Em todos os casos usa-se a forma y = C × at, onde C é o valor inicial e a é o fator de multiplicação por período.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Calcular valores
Enunciado: Seja f(x) = 3x. Calcule f(0), f(2), f(4) e f(−1).
Resolução:
- f(0) = 30 = 1.
- f(2) = 32 = 9.
- f(4) = 34 = 81.
- f(−1) = 3(−1) = 1/3.
Resposta: 1, 9, 81 e 1/3. Verificação: os valores aumentam com x, como é próprio de uma base maior que 1, e todos são positivos.
Exemplo 2 — Crescente ou decrescente?
Enunciado: Classifique quanto à monotonia: (a) f(x) = 5x; (b) g(x) = (0,3)x; (c) h(x) = (3/2)x; (d) j(x) = (1/4)x.
Resolução: compare a base com 1.
- (a) base 5 > 1: crescente.
- (b) base 0,3, entre 0 e 1: decrescente.
- (c) base 3/2 = 1,5 > 1: crescente.
- (d) base 1/4, entre 0 e 1: decrescente.
Resposta: (a) e (c) crescentes; (b) e (d) decrescentes.
Exemplo 3 — Crescimento de bactérias
Enunciado: Numa cultura há 1 000 bactérias e o número duplica de hora a hora. Escreva a função que dá o número de bactérias ao fim de t horas e calcule-o para t = 5.
Resolução:
- Valor inicial C = 1 000; fator de multiplicação por hora a = 2.
- P(t) = 1 000 × 2t.
- P(5) = 1 000 × 25 = 1 000 × 32 = 32 000.
Resposta: P(t) = 1 000 × 2t; ao fim de 5 horas há 32 000 bactérias. Verificação: duplicando cinco vezes: 1 000 → 2 000 → 4 000 → 8 000 → 16 000 → 32 000.
Exemplo 4 — Juros compostos e perda de valor
Enunciado: (a) Depositam-se 100 000 Kz num banco que paga 10% ao ano, com juros compostos. Quanto haverá ao fim de 3 anos? (b) Um gerador de 800 000 Kz perde 25% do valor em cada ano. Qual o valor ao fim de 2 anos?
Resolução:
- (a) Aumentar 10% é multiplicar por 1,1. Valor = 100 000 × 1,13. Como 1,13 = 1,331, o valor é 133 100 Kz.
- (b) Perder 25% é ficar com 75%, isto é, multiplicar por 0,75. Valor = 800 000 × 0,752 = 800 000 × 0,5625 = 450 000 Kz.
Resposta: (a) 133 100 Kz; (b) 450 000 Kz. Verificação de (b): 800 000 × 0,75 = 600 000; 600 000 × 0,75 = 450 000.
Erros frequentes
- Confundir x2 com 2x. Em x2 a variável está na base; em 2x está no expoente. Para x = 3 dão 9 e 8, respetivamente. Pergunte sempre: quem é que varia, a base ou o expoente?
- Dizer que 2x tem zeros. Uma potência de base positiva nunca é 0 nem negativa. Resolver 2x = 0 não tem solução.
- Esquecer a(−x) = 1/ax. Um expoente negativo não torna o resultado negativo: 3(−2) = 1/9, e não −9.
- Pensar que base entre 0 e 1 dá função crescente. Com 0 < a < 1 a função é decrescente, porque se multiplica por um número menor que 1.
- Somar percentagens em vez de multiplicar. Aumentar 10% duas vezes não é aumentar 20%: é multiplicar por 1,1 × 1,1 = 1,21.
- Distribuir o expoente pela soma. a(x+y) não é ax + ay; é ax × ay.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Seja f(x) = 2x. Calcule f(3), f(0) e f(−2).
Ver solução
f(3) = 23 = 8; f(0) = 1; f(−2) = 2(−2) = 1/22 = 1/4.
2Exercício 2
Resolva a equação 2x = 64.
Ver dica
Escreva 64 como potência de 2.
Ver solução
64 = 26, logo 2x = 26. Como a função exponencial é injetiva, x = 6.
3Exercício 3
Resolva a equação 5(2x − 1) = 125.
Ver solução
125 = 53, logo 2x − 1 = 3, 2x = 4 e x = 2. Verificação: 5(2×2−1) = 53 = 125.
4Exercício 4
Uma cultura começa com 200 bactérias, que duplicam de hora a hora. Quantas há ao fim de 4 horas?
Ver solução
N(t) = 200 × 2t. N(4) = 200 × 16 = 3 200 bactérias.
5Exercício 5
Resolva a inequação 2x > 8 e a equação 4x = 1/16.
Ver dica
Como 2 > 1, a função 2x é crescente e mantém o sentido da desigualdade. Para a segunda, escreva 1/16 como potência de 4.
Ver solução
Primeira: 8 = 23, logo 2x > 23, e como a base é maior que 1, x > 3. Segunda: 1/16 = 4(−2), logo 4x = 4(−2) e x = −2.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre função exponencial e função de potência?
Na função de potência (x2, x3) a base varia e o expoente é fixo; na exponencial (2x, 3x) a base é fixa e o expoente varia. O comportamento é muito diferente: para valores grandes de x, a exponencial cresce muito mais depressa.
Porque é que o gráfico passa sempre por (0, 1)?
Porque qualquer número diferente de zero elevado a 0 é igual a 1. Assim f(0) = a0 = 1, seja qual for a base.
O que significa a assíntota y = 0?
Significa que o gráfico se aproxima cada vez mais do eixo dos xx, sem nunca o atingir, num dos lados. Isso acontece porque ax fica muito pequeno, mas nunca chega a ser zero.
Existe uma base especial?
Sim, o número de Neper e ≈ 2,718, muito usado em ciências e em economia. A função ex é uma exponencial como as outras, com base e > 1, e costuma ser estudada com mais detalhe nas classes finais.
Resumo
- Função exponencial: f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1; a variável está no expoente.
- Domínio ℝ, contradomínio ]0, +∞[; o gráfico passa em (0, 1) e não corta o eixo dos xx.
- Se a > 1 é crescente; se 0 < a < 1 é decrescente.
- Modela fenómenos de multiplicação repetida: y = C × at.
- Para resolver equações simples, reduza ambos os membros à mesma base e iguale os expoentes.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), capítulo sobre funções exponenciais e logarítmicas.
- Os apontamentos de Álgebra do ensino secundário do seu professor, para mais exercícios de equações exponenciais.
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