Matemática · 8.ª–12.ª classe

O que é a função logarítmica?

  • 7 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

A função logarítmica é a função f(x) = loga(x), com base a > 0 e a ≠ 1, definida apenas para x > 0. É a inversa da função exponencial ax: se y = loga(x), então ay = x. O seu gráfico passa por (1, 0), tem o eixo dos yy como assíntota e é crescente quando a > 1.

Definição e características

Dado um número positivo x, o logaritmo de x na base a é o expoente a que se deve elevar a para obter x. A função logarítmica associa a cada x positivo esse expoente.

Definição

y = loga(x) ⇔ ay = x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

Por exemplo, log2(8) = 3 porque 23 = 8.

Propriedades da função f(x) = loga(x)

Propriedadea > 1 (ex.: log2 x)0 < a < 1 (ex.: log(1/2) x)
Domínio]0, +∞[]0, +∞[
Contradomínioℝℝ
Monotoniacrescentedecrescente
Zerox = 1 (pois loga(1) = 0)x = 1
Assíntota verticalx = 0x = 0
Sinalnegativa se 0 < x < 1; positiva se x > 1contrário

Relação com a exponencial

As funções ax e loga(x) são inversas uma da outra: o gráfico de uma obtém-se do da outra por simetria em relação à reta y = x. O domínio de uma é o contradomínio da outra: a exponencial tem domínio ℝ e contradomínio ]0, +∞[; o logaritmo tem domínio ]0, +∞[ e contradomínio ℝ. Daqui resultam duas identidades úteis: loga(ax) = x e a(loga x) = x.

Exemplos do quotidiano

Sempre que uma quantidade cresce por multiplicação e se pergunta «quanto tempo demora a chegar a determinado valor?», a resposta é um logaritmo. Também se usam escalas logarítmicas para comprimir números muito diferentes numa escala manejável, como em medições de acidez (pH) e de intensidade sonora, que o seu professor de Química ou de Física poderá apresentar.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Calcular logaritmos

Enunciado: Calcule: (a) log3(81); (b) log10(0,001); (c) log(1/2)(4).

Resolução: procure o expoente.

  1. (a) 34 = 81, logo log3(81) = 4.
  2. (b) 0,001 = 10(−3), logo log10(0,001) = −3.
  3. (c) (1/2)(−2) = 22 = 4, logo log(1/2)(4) = −2.

Resposta: 4, −3 e −2. Verificação: (1/2)(−2) = 1 ÷ (1/4) = 4.

Exemplo 2 — Domínio

Enunciado: Determine o domínio de: (a) f(x) = log2(x − 3); (b) g(x) = log(5 − 2x); (c) h(x) = log3(x2 − 4).

Resolução: o argumento do logaritmo tem de ser estritamente positivo.

  1. (a) x − 3 > 0, logo x > 3. Domínio: ]3, +∞[.
  2. (b) 5 − 2x > 0, logo 2x < 5 e x < 5/2. Domínio: ]−∞, 5/2[.
  3. (c) x2 − 4 > 0, logo x2 > 4, o que dá x < −2 ou x > 2. Domínio: ]−∞, −2[ ∪ ]2, +∞[.

Resposta: ]3, +∞[; ]−∞, 5/2[; ]−∞, −2[ ∪ ]2, +∞[. Verificação de (a): x = 4 dá log2(1) = 0, válido; x = 3 daria log2(0), que não existe.

Exemplo 3 — Equações logarítmicas

Enunciado: Resolva: (a) log2(x + 1) = 3; (b) log3(2x − 1) = 2.

Resolução: passe à forma exponencial e confirme o domínio.

  1. (a) Condição: x + 1 > 0. Então x + 1 = 23 = 8, logo x = 7. Como 7 + 1 > 0, é válido.
  2. (b) Condição: 2x − 1 > 0. Então 2x − 1 = 32 = 9, logo 2x = 10 e x = 5. Como 2 × 5 − 1 = 9 > 0, é válido.

Resposta: (a) x = 7; (b) x = 5. Verificação: log2(8) = 3 e log3(9) = 2.

Exemplo 4 — Quanto tempo demora?

Enunciado: Uma cultura tem 1 000 bactérias e duplica a cada hora, isto é, P(t) = 1 000 × 2t. Ao fim de quantas horas haverá 16 000 bactérias?

Resolução:

  1. Resolver 1 000 × 2t = 16 000.
  2. Dividir por 1 000: 2t = 16.
  3. Passar a logaritmo: t = log2(16) = 4, porque 24 = 16.

Resposta: ao fim de 4 horas. Verificação: 1 000 × 16 = 16 000.

Erros frequentes

  • Calcular o logaritmo de zero ou de um número negativo. Não existem: loga(x) só está definido para x > 0. Resolva sempre a condição de existência primeiro.
  • Esquecer de verificar as soluções. Numa equação logarítmica, uma solução que anule ou torne negativo o argumento tem de ser rejeitada.
  • Confundir loga(x) com ax. São inversas: uma mostra o expoente, a outra a potência.
  • Julgar que loga(1) = 1. O correto é loga(1) = 0, pois a0 = 1.
  • Trocar o sentido da desigualdade. Com base maior que 1 mantém-se; com base entre 0 e 1 inverte-se.
  • Escrever log(x + y) = log x + log y. Não é verdade: o logaritmo transforma produtos em somas, não somas em somas.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule log2(32) e log5(1/25).

Ver solução

25 = 32, logo log2(32) = 5. 1/25 = 5(−2), logo log5(1/25) = −2.

2Exercício 2

Indique o domínio de f(x) = log(x + 4).

Ver solução

x + 4 > 0, logo x > −4. Domínio: ]−4, +∞[.

3Exercício 3

Resolva log2(3x − 2) = 4.

Ver solução

Condição: 3x − 2 > 0. 3x − 2 = 24 = 16, logo 3x = 18 e x = 6. Verificação: 3 × 6 − 2 = 16 e log2(16) = 4.

4Exercício 4

Resolva a inequação log2(x) < 3.

Ver dica

Lembre-se de que x tem de ser positivo, e que a base 2 é maior que 1.

Ver solução

Condição: x > 0. Como a base é maior que 1, mantém-se o sentido: x < 23 = 8. Solução: 0 < x < 8.

5Exercício 5

Determine a função inversa de f(x) = 3x e de g(x) = log5(x).

Ver solução

Se y = 3x, então x = log3(y); a inversa de f é f(−1)(x) = log3(x). Se y = log5(x), então x = 5y; a inversa de g é g(−1)(x) = 5x.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre função logarítmica e função exponencial?

São inversas: a exponencial dá a potência a partir do expoente, o logaritmo dá o expoente a partir da potência. Os gráficos são simétricos em relação à reta y = x.

Porque é que a função logarítmica não tem valores para x negativo?

Porque uma potência de base positiva é sempre positiva. Não há expoente real que faça ay dar um número negativo ou zero, por isso esses valores não têm logaritmo.

O que quer dizer «log» sem base?

Em muitos manuais de Angola e de Portugal, log sem base indica a base 10, e ln indica a base e (logaritmo neperiano). Confirme a convenção do seu manual.

Onde se aplica na prática?

Em calcular tempos de crescimento ou de decaimento, em escalas como o pH e o decibel, e em Informática e Estatística, quando os valores variam em ordens de grandeza muito diferentes.

Resumo

  • f(x) = loga(x) com a > 0, a ≠ 1; y = loga(x) ⇔ ay = x.
  • Domínio ]0, +∞[, contradomínio ℝ, zero em x = 1, assíntota x = 0.
  • Crescente se a > 1; decrescente se 0 < a < 1.
  • É a inversa da exponencial: loga(ax) = x.
  • Em equações, imponha primeiro a condição de existência e verifique no fim.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Precalculus (em inglês), secção sobre funções logarítmicas.
  • Os exercícios de equações logarítmicas do seu caderno de preparação para exames.

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