Matemática · 8.ª–12.ª classe
O que é um logaritmo?
Resposta curta
O logaritmo de um número positivo b na base a (a > 0 e a ≠ 1) é o expoente a que é preciso elevar a para obter b. Escreve-se loga(b) = c quando ac = b. Por exemplo, log2(8) = 3, porque 23 = 8. É a operação inversa da potenciação.
Definição e terminologia
Na igualdade loga(b) = c usam-se estes nomes:
- a é a base do logaritmo;
- b é o logaritmando (ou argumento), e tem de ser positivo;
- c é o logaritmo.
Definição
loga(b) = c ⇔ ac = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Pense assim: o logaritmo responde à pergunta «a que expoente devo elevar a base para obter este número?». Em log5(125) a pergunta é «5 elevado a quê dá 125?». Como 53 = 125, a resposta é 3.
Consequências imediatas
- loga(1) = 0, porque a0 = 1.
- loga(a) = 1, porque a1 = a.
- loga(an) = n.
- a(loga b) = b.
Bases usuais
Quando a base não aparece, nos manuais do secundário costuma querer dizer base 10 (log). O logaritmo de base e ≈ 2,718 escreve-se ln. Confirme a convenção do seu manual.
Propriedades operatórias
Para a > 0, a ≠ 1, e x, y > 0:
Propriedades
loga(x × y) = loga(x) + loga(y) loga(x ÷ y) = loga(x) − loga(y) loga(xn) = n × loga(x) Mudança de base: loga(x) = logb(x) ÷ logb(a)
Estas propriedades vêm das regras das potências: multiplicar potências da mesma base soma os expoentes, e é isso que o logaritmo «lê». Por isso os logaritmos transformam produtos em somas, divisões em subtrações e potências em produtos.
Exemplos do quotidiano
Antes das calculadoras, os logaritmos serviam para transformar multiplicações difíceis em somas. Hoje aparecem em escalas como o pH da água, o nível sonoro em decibéis, e em problemas de crescimento: «quantos anos até um capital duplicar?» ou «em quantas horas a cultura atinge certo número?».
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Da potência ao logaritmo e vice-versa
Enunciado: (a) Escreva 34 = 81 na forma logarítmica. (b) Escreva log10(1 000) = 3 na forma exponencial.
Resolução:
- (a) A base é 3, o expoente é 4 e o resultado é 81: log3(81) = 4.
- (b) A base é 10, o resultado 1 000 e o expoente 3: 103 = 1 000.
Resposta: (a) log3(81) = 4; (b) 103 = 1 000.
Exemplo 2 — Calcular logaritmos
Enunciado: Calcule: (a) log2(64); (b) log7(1); (c) log4(1/16); (d) log9(3).
Resolução:
- (a) 26 = 64, logo o valor é 6.
- (b) 70 = 1, logo o valor é 0.
- (c) 1/16 = 4(−2), logo o valor é −2.
- (d) 9(1/2) = √9 = 3, logo o valor é 1/2.
Resposta: 6, 0, −2 e 1/2. Verificação: 4(−2) = 1/42 = 1/16.
Exemplo 3 — Usar as propriedades
Enunciado: Sabendo que log2(3) ≈ 1,585, sem calculadora calcule log2(12) e log2(3/4) de forma aproximada.
Resolução:
- 12 = 4 × 3, logo log2(12) = log2(4) + log2(3) = 2 + 1,585 = 3,585.
- log2(3/4) = log2(3) − log2(4) = 1,585 − 2 = −0,415.
Resposta: log2(12) ≈ 3,585 e log2(3/4) ≈ −0,415. Verificação: 23,585 ≈ 12 e o segundo valor é negativo, como deve ser, porque 3/4 < 1.
Exemplo 4 — Simplificar e resolver
Enunciado: (a) Simplifique log2(40) − log2(5). (b) Resolva log3(x) + log3(x − 2) = 1.
Resolução:
- (a) log2(40) − log2(5) = log2(40 ÷ 5) = log2(8) = 3.
- (b) Condições: x > 0 e x − 2 > 0, ou seja, x > 2.
- Juntar: log3(x(x − 2)) = 1, logo x(x − 2) = 31 = 3.
- x2 − 2x − 3 = 0, que se fatoriza em (x − 3)(x + 1) = 0, logo x = 3 ou x = −1.
- Como x > 2, rejeita-se x = −1.
Resposta: (a) 3; (b) x = 3. Verificação de (b): log3(3) + log3(1) = 1 + 0 = 1.
Erros frequentes
- Escrever log(x + y) = log x + log y. A propriedade da soma aplica-se a produtos: log(xy) = log x + log y. Teste com números: log10(10 + 90) = 2, mas 1 + log10(90) não é 2.
- Pensar que loga(xn) = (loga x)n. O expoente sai a multiplicar, não fica a potenciar o logaritmo.
- Aceitar soluções fora das condições. Em equações como a do Exemplo 4, rejeite os valores que tornem um logaritmando negativo ou nulo.
- Dar loga(1) = 1. O valor é 0.
- Trocar base e logaritmando. Em log2(8) a base é 2 e o resultado é 3, não 8 elevado a nada.
- Usar base 1 ou negativa. A base deve ser positiva e diferente de 1.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule log5(125) e log10(0,01).
Ver solução
53 = 125, logo log5(125) = 3. 0,01 = 10(−2), logo log10(0,01) = −2.
2Exercício 2
Escreva 25 = 32 na forma logarítmica e log6(36) = 2 na forma exponencial.
Ver solução
25 = 32 ⇔ log2(32) = 5. log6(36) = 2 ⇔ 62 = 36.
3Exercício 3
Simplifique log3(6) + log3(9) − log3(2).
Ver solução
log3(6 × 9 ÷ 2) = log3(27) = 3, porque 33 = 27.
4Exercício 4
Calcule log2(84) usando uma propriedade.
Ver solução
log2(84) = 4 × log2(8) = 4 × 3 = 12. Confirmação: 84 = 212.
5Exercício 5
Resolva log2(x) + log2(x + 6) = 4.
Ver dica
Una os logaritmos, passe à forma exponencial e rejeite o que violar x > 0.
Ver solução
Condição: x > 0. log2(x(x + 6)) = 4, logo x(x + 6) = 16, ou seja x2 + 6x − 16 = 0, que se fatoriza em (x + 8)(x − 2) = 0. Soluções x = −8 ou x = 2; só x = 2 cumpre a condição. Verificação: log2(2) + log2(8) = 1 + 3 = 4.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre logaritmo e expoente?
O logaritmo é um expoente: o expoente a que a base tem de ser elevada. A diferença está na pergunta feita. Na potência, conhece-se o expoente e procura-se o resultado; no logaritmo, conhece-se o resultado e procura-se o expoente.
Porque não existe logaritmo de números negativos?
Porque, com base positiva, nenhuma potência real dá um número negativo ou zero. Não há expoente c que faça 2c = −4, logo log2(−4) não existe nos reais.
O que é a mudança de base?
É a fórmula loga(x) = logb(x) ÷ logb(a), que permite calcular um logaritmo numa base qualquer usando a calculadora em base 10 ou e.
Onde se usam logaritmos na prática?
Em escalas de medição (pH, decibéis), em juros compostos e em crescimento de populações, para determinar o tempo necessário para atingir um valor.
Resumo
- loga(b) = c significa ac = b, com a > 0, a ≠ 1 e b > 0.
- O logaritmo é o expoente a que se eleva a base.
- loga(1) = 0 e loga(a) = 1.
- Produto vira soma, quociente vira diferença, potência vira produto.
- Em equações, imponha as condições de existência e verifique as soluções.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax College Algebra (em inglês), capítulo sobre logaritmos.
- O seu caderno de exercícios de equações logarítmicas, para treinar a verificação de soluções.
Continue a estudar
O que é a função logarítmica?
A função logarítmica é a função f(x) = loga(x), com base a > 0 e a ≠ 1, definida apenas para x > 0. É a inversa da função exponencial ax: se y = loga(x), então ay = x…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
O que é uma função?
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos que faz corresponder a cada elemento do primeiro (o domínio) um só elemento do segundo. Escreve-se y = f(x): x é a…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como determinar o domínio de uma função?
O domínio de uma função é o conjunto dos valores de x para os quais a expressão tem sentido. Passos: procure os pontos «perigosos» (denominador, raiz quadrada…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular o contradomínio de uma função?
O contradomínio (ou conjunto-imagem) de f é o conjunto de todos os valores que f(x) toma quando x percorre o domínio. Para o calcular: determine o domínio, identifique…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado