Matemática · 8.ª–12.ª classe
O que é a função quadrática?
Resposta curta
Função quadrática é toda a função que se pode escrever na forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0. O seu gráfico é uma curva chamada parábola, com um vértice e um eixo de simetria. O sinal de a decide se a parábola abre para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
O que é uma função quadrática
Numa função afim, como f(x) = 2x + 1, a variável aparece só com expoente 1 e o gráfico é uma reta. Na função quadrática surge também o termo em x2, o "quadrado" que lhe dá o nome. O domínio é sempre ℝ: pode substituir x por qualquer número real.
A condição a ≠ 0 é essencial: se a fosse zero, o termo em x2 desaparecia e sobrava f(x) = bx + c, uma função afim. Já b e c podem ser zero.
O que faz cada coeficiente
- a dá o sentido da concavidade: com a > 0 a parábola tem um mínimo; com a < 0 tem um máximo.
- b desloca o vértice para a esquerda ou para a direita, em conjunto com a.
- c é a ordenada na origem: como f(0) = c, a parábola corta o eixo dos yy em (0, c).
Formas de escrever a mesma função
- Geral: f(x) = ax2 + bx + c.
- Fatorizada: f(x) = a(x − x1)(x − x2), onde x1 e x2 são os zeros.
- Do vértice: f(x) = a(x − h)2 + k, onde (h, k) é o vértice.
Características do gráfico
| Elemento | Como se obtém |
|---|---|
| Concavidade | a > 0: para cima; a < 0: para baixo |
| Ordenada na origem | f(0) = c, ponto (0, c) |
| Zeros | soluções de ax2 + bx + c = 0 |
| Vértice e eixo | xv = −b / (2a), yv = f(xv); eixo: a reta x = xv |
| Contradomínio | [yv, +∞[ se a > 0; ]−∞, yv] se a < 0 |
Zeros e discriminante
Δ = b2 − 4ac · x = (−b ± √Δ) / (2a)
Se Δ > 0 há dois zeros; se Δ = 0 há um só (o vértice toca o eixo dos xx); se Δ < 0 não há zeros.
Onde aparece na vida real
Aparece sempre que uma grandeza depende do quadrado de outra: a área de um quadrado de lado x é x2; uma bola chutada descreve, aproximadamente, uma parábola; o espaço percorrido com aceleração constante é quadrático no tempo. Nos problemas de otimização, o máximo ou o mínimo procura-se no vértice.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Reconhecer funções quadráticas
Enunciado: Diga quais são quadráticas e dê a, b e c: (a) f(x) = 3x2 − 5x + 2; (b) g(x) = x(x + 4); (c) h(x) = (x − 1)2 − x2.
Resolução:
- Em (a) a expressão já está na forma geral: a = 3, b = −5, c = 2.
- Em (b), g(x) = x2 + 4x, logo a = 1, b = 4, c = 0 (c pode ser nulo).
- Em (c), (x − 1)2 = x2 − 2x + 1, e h(x) = −2x + 1. O termo em x2 desaparece.
Resposta: (a) e (b) são quadráticas; (c) é afim. Verificação: em (c), para x = 2 ambas as expressões dão −3.
Exemplo 2 — Estudar uma parábola
Enunciado: Para f(x) = x2 − 4x + 3, determine a concavidade, os zeros, o vértice e o contradomínio.
Resolução:
- a = 1, b = −4, c = 3. Como a > 0, a concavidade é para cima.
- Δ = (−4)2 − 4 × 1 × 3 = 16 − 12 = 4, logo x = (4 ± 2) / 2, isto é, x = 3 ou x = 1.
- Vértice: xv = 4 / 2 = 2 e yv = 4 − 8 + 3 = −1.
- Sendo a > 0, o vértice é o ponto mais baixo: contradomínio [−1, +∞[.
Resposta: concavidade para cima; zeros 1 e 3; vértice (2, −1); contradomínio [−1, +∞[. Verificação: f(1) = 1 − 4 + 3 = 0 e f(3) = 9 − 12 + 3 = 0.
Exemplo 3 — A maior horta com 40 m de rede
Enunciado: Um agricultor do Huambo tem 40 m de rede para vedar uma horta retangular. Que dimensões dão a maior área?
Resolução:
- Dois lados contíguos somam 20 m. Se um mede x, o outro mede 20 − x.
- A(x) = x(20 − x) = −x2 + 20x, com a = −1 < 0: tem máximo, no vértice.
- xv = −20 / (2 × (−1)) = 10, e o outro lado é 20 − 10 = 10.
- A área máxima é 10 × 10 = 100.
Resposta: quadrado de 10 m por 10 m, com 100 m2. Verificação: com x = 9 a área é 9 × 11 = 99, e com x = 8 é 8 × 12 = 96, ambas menores do que 100.
Exemplo 4 — Nível de exame: descobrir a função
Enunciado: Uma função quadrática f tem zeros 1 e 5 e verifica f(0) = 10. Determine f(x) e o vértice.
Resolução:
- Forma fatorizada: f(x) = a(x − 1)(x − 5).
- Para x = 0: a × (−1) × (−5) = 5a. Como f(0) = 10, vem a = 2.
- Desenvolvendo: f(x) = 2(x2 − 6x + 5) = 2x2 − 12x + 10.
- Vértice: xv = 12 / (2 × 2) = 3 e yv = 18 − 36 + 10 = −8.
Resposta: f(x) = 2x2 − 12x + 10, vértice (3, −8). Verificação: f(1) = 2 − 12 + 10 = 0 e f(5) = 50 − 60 + 10 = 0.
Erros frequentes
- Esquecer que a ≠ 0. Com a = 0 a função é afim e o gráfico é uma reta.
- Trocar o sinal em −b / (2a). Em x2 − 4x + 3, b = −4, logo −b = 4 e a abcissa do vértice é 2, não −2.
- Pensar que o vértice é sempre um zero. Só o é quando Δ = 0.
- Desenvolver mal o quadrado de uma diferença. (x − 1)2 é x2 − 2x + 1, e não x2 − 1.
- Dar ℝ como contradomínio. O vértice limita sempre os valores possíveis de y.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Indique quais são quadráticas e dê a, b e c: f(x) = 5x2 − 1; g(x) = x3 + x2; h(x) = (x + 2)(x − 3); k(x) = 3x + 7.
Ver dica
Desenvolva os produtos antes de decidir.
Ver solução
f é quadrática: a = 5, b = 0, c = −1. g não é (grau 3). Em h, (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6, quadrática com a = 1, b = −1, c = −6. k não é (grau 1).
2Exercício 2
Para f(x) = −x2 + 4, indique a concavidade, a ordenada na origem, os zeros, o vértice e o contradomínio.
Ver solução
Como a = −1 < 0, a concavidade é para baixo. Ordenada na origem: 4. Zeros: −x2 + 4 = 0 dá x = −2 ou x = 2. Vértice: (0, 4). Contradomínio: ]−∞, 4].
3Exercício 3
Determine os zeros e o vértice de f(x) = x2 + 2x − 8.
Ver solução
Δ = 4 + 32 = 36 e x = (−2 ± 6) / 2, logo x = 2 ou x = −4. Vértice: xv = −1 e yv = 1 − 2 − 8 = −9.
4Exercício 4
A altura de uma bola, em metros, é h(t) = 20t − 5t2, com t em segundos. Quando atinge a altura máxima, qual é essa altura e quando volta ao chão?
Ver dica
O máximo está no vértice; o regresso ao chão é o outro zero de h.
Ver solução
Vértice: tv = −20 / (2 × (−5)) = 2 s, e h(2) = 40 − 20 = 20 m. Zeros: 20t − 5t2 = 5t(4 − t) = 0, logo t = 0 ou t = 4. A bola volta ao chão aos 4 s, o dobro do tempo da subida, como a simetria exige.
5Exercício 5
Determine k para que f(x) = x2 − 6x + k tenha um único zero, e indique esse zero e o vértice.
Ver solução
Um único zero exige Δ = 0: 36 − 4k = 0, logo k = 9. Então f(x) = x2 − 6x + 9 = (x − 3)2, com zero x = 3 e vértice (3, 0), sobre o eixo dos xx.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre função quadrática e equação do 2.º grau?
A função f(x) = ax2 + bx + c associa um valor a cada x e tem um gráfico, a parábola. A equação ax2 + bx + c = 0 pergunta para que x a função se anula. Os zeros da função são as soluções dessa equação.
Porque é que a parábola é simétrica?
Porque x2 dá o mesmo valor para x e para −x. Os pontos à mesma distância do eixo x = −b / (2a) têm a mesma altura, e o vértice fica a meio dos zeros, quando existem.
Uma função quadrática pode não ter zeros?
Pode: se Δ < 0, a parábola fica toda acima do eixo dos xx (a > 0) ou toda abaixo (a < 0). Por exemplo, f(x) = x2 + 1 nunca se anula, porque é sempre pelo menos 1.
Resumo
- Função quadrática: f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0; domínio ℝ; gráfico em parábola.
- Se a > 0 a concavidade é para cima (mínimo); se a < 0, para baixo (máximo).
- c é a ordenada na origem; os zeros vêm de x = (−b ± √Δ) / (2a), com Δ = b2 − 4ac.
- O vértice tem abcissa −b / (2a), no eixo de simetria, a meio dos zeros.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O livro aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), na parte sobre funções quadráticas.
- A plataforma Khan Academy, em português, nos exercícios de funções quadráticas.
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